Trigonometrie de tetraedru
În geometrie , trigonometria tetraedrului este ansamblul de relații existente între lungimile marginilor și diferitele unghiuri ale unui tetraedru (oricare).
Mărimi trigonometrice
Definiții și notații
Fie orice tetraedru, unde și sunt puncte arbitrare (dar nu coplanare ) în spațiul tridimensional . Mărimile trigonometrice asociate sunt lungimile celor șase margini și ariile celor șase fețe, cele douăsprezece unghiuri ale celor patru fețe, cele șase unghiuri diedre dintre fețe și cele patru unghiuri solide la vârfuri. Mai precis, dacă notăm este marginea care se unește și , și fața opusă (și, prin urmare ), cu și , ne setăm
X=P1P2P3P4¯{\ displaystyle X = {\ overline {P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4}}}}P1,P2,P3{\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}P4{\ displaystyle P_ {4}}eeuj{\ displaystyle e_ {ij}}Peu{\ displaystyle P_ {i}}Pj{\ displaystyle P_ {j}}Feu{\ displaystyle F_ {i}}Peu{\ displaystyle P_ {i}}Feu=PjPkPl¯{\ displaystyle F_ {i} = {\ overline {P_ {j} P_ {k} P_ {l}}}}eu,j,k,l∈{1,2,3,4}{\ displaystyle i, j, k, l \ in \ {1,2,3,4 \}}eu≠j≠k≠l{\ displaystyle i \ neq j \ neq k \ neq l}
-
deuj{\ displaystyle d_ {ij}}= lungimea muchiei ;eeuj{\ displaystyle e_ {ij}}
-
αeu,j{\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}= unghiul de la vârful feței (adică unghiul )Peu{\ displaystyle P_ {i}}Fj{\ displaystyle F_ {j}}PeuPk,PeuPl^{\ displaystyle {\ widehat {P_ {i} P_ {k}, P_ {i} P_ {l}}}}
-
θeuj{\ displaystyle \ theta _ {ij}}= unghiul diedru dintre cele două fețe adiacente marginii ;eeuj{\ displaystyle e_ {ij}}
-
Ωeu{\ displaystyle \ Omega _ {i}}= unghiul solid din partea de sus .Peu{\ displaystyle P_ {i}}
-
Δeu{\ displaystyle \ Delta _ {i}}= zona feței .Feu{\ displaystyle F_ {i}}
Zonele și volumul
Să fie zona feței . Cunoscând cele trei lungimi ale marginilor, avem ( formula Heron )
Δeu{\ displaystyle \ Delta _ {i}}Feu{\ displaystyle F_ {i}}
Δeu=(djk+djl+dkl)(-djk+djl+dkl)(djk-djl+dkl)(djk+djl-dkl)16{\ displaystyle \ Delta _ {i} = {\ sqrt {\ frac {(d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (- d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} -d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} + d_ {jl} -d_ {kl})} {16}}}}(sau mai simplu, cunoașterea unuia dintre unghiuri ).
Δeu=12djkdjlpăcatαj,eu{\ displaystyle \ Delta _ {i} = {\ frac {1} {2}} d_ {jk} d_ {jl} \ sin \ alpha _ {j, i}}
Să fie înălțimea a condus la , adică, distanța de la partea de sus a feței . Volumul tetraedrului este dată de ; poate fi exprimat direct folosind pătratele lungimilor marginilor prin relația:
heu{\ displaystyle h_ {i}}Peu{\ displaystyle P_ {i}}Peu{\ displaystyle P_ {i}}Feu{\ displaystyle F_ {i}}V=13Δeuheu{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ Delta _ {i} h_ {i}}
288V2=|2d122d122+d132-d232d122+d142-d242d122+d132-d2322d132d132+d142-d342d122+d142-d242d132+d142-d3422d142|{\ displaystyle 288V ^ {2} = {\ begin {vmatrix} 2d_ {12} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} + d_ {13} ^ {2} -d_ {23} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} + d_ {14} ^ {2} -d_ {24} ^ {2} \\ d_ {12} ^ {2} + d_ {13} ^ {2} -d_ {23 } ^ {2} & 2d_ {13} ^ {2} & d_ {13} ^ {2} + d_ {14} ^ {2} -d_ {34} ^ {2} \\ d_ {12} ^ {2 } + d_ {14} ^ {2} -d_ {24} ^ {2} & d_ {13} ^ {2} + d_ {14} ^ {2} -d_ {34} ^ {2} & 2d_ {14 } ^ {2} \ end {vmatrix}}}.
Rezultate preliminare
Triunghiuri afine
Fața este un triunghi ale cărui laturi au lungimi și unghiurile respective opuse acelor laturi sunt . Se aplică relațiile clasice ale trigonometriei triunghiului , de exemplu avem ( legea cosinusului )Feu{\ displaystyle F_ {i}}djk,djl,dkl{\ displaystyle d_ {jk}, d_ {jl}, d_ {kl}}αl,eu,αk,eu,αj,eu{\ displaystyle \ alpha _ {l, i}, \ alpha _ {k, i}, \ alpha _ {j, i}}dkl2=djk2+djl2-2djkdjlcosαj,eu.{\ displaystyle d_ {kl} ^ {2} = d_ {jk} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -2d_ {jk} d_ {jl} \ cos \ alpha _ {j, i}.}
Triunghiuri proiective
Steagul la vârful (adică setul de muchii și fețe care trec prin ea) poate fi interpretată de proiecție centrală din vârful ca un triunghi sferic , ale căror vârfuri sunt cele trei muchii, laturile sunt cele trei fețe având de lungime (pe sferă unitară) , iar unghiurile sunt respectiv unghiurile diedrice . Se aplică relațiile clasice de trigonometrie sferică și avem, de exemplu ( formula cosinusului )Peu{\ displaystyle P_ {i}}αeu,j,αeu,k,αeu,l{\ displaystyle \ alpha _ {i, j}, \ alpha _ {i, k}, \ alpha _ {i, l}} θeuj,θeuk,θeul{\ displaystyle \ theta _ {ij}, \ theta _ {ik}, \ theta _ {il}}cosαeu,j=cosαeu,kcosαj,k+păcatαeu,kpăcatαj,kcosθeu,j .{\ displaystyle \ cos \ alpha _ {i, j} = \ cos \ alpha _ {i, k} \, \ cos \ alpha _ {j, k} + \ sin \ alpha _ {i, k} \, \ sin \ alpha _ {j, k} \, \ cos \ theta _ {i, j} ~.}
Relații trigonometrice în tetraedru
Teorema sinusului alternativă
Dintre cele nouă unghiuri ale celor trei suprafețe concurente din partea de sus , șase cărora nu le-a plăcut partea superioară sunt legate de următoarea identitate (corespunzătoare rotațiilor în jurul celor două direcții posibile) .
Peu{\ displaystyle P_ {i}}Peu{\ displaystyle P_ {i}}Peu{\ displaystyle P_ {i}}păcatαj,lpăcatαk,jpăcatαl,k=păcatαj,kpăcatαk,lpăcatαl,j{\ displaystyle \ sin \ alpha _ {j, l} \ sin \ alpha _ {k, j} \ sin \ alpha _ {l, k} = \ sin \ alpha _ {j, k} \ sin \ alpha _ { k, l} \ sin \ alpha _ {l, j}}
Spațiu de formă
Cele patru identități astfel obținute nu sunt independente: prin înmulțirea membrului cu membrul trei dintre ele și prin simplificare, obținem al patrulea. Pornind de la un set de douăsprezece unghiuri arbitrare, aceste trei identități și cele patru constrângeri asupra sumei celor trei unghiuri ale fiecărei fețe (care trebuie să fie egale cu π) implică faptul că spațiul formelor tetraedrului trebuie să aibă dimensiunea 5, ceea ce confirmă faptul că cele 6 lungimi ale muchiilor determină un singur tetraedru și, prin urmare, toate tetraedrele de aceeași formă fiind omotice cu acesta, baza a cinci numere este suficientă pentru a caracteriza forma.
Legea sinelor
Valoarea absolută a sinusului polar (psin) a vectorilor normali la trei fețe având un vârf în comun, împărțit la aria celei de-a patra fețe, nu depinde de alegerea acestui vârf:
|psin(nu2,nu3,nu4)|Δ1=|psin(nu1,nu3,nu4)|Δ2=|psin(nu1,nu2,nu4)|Δ3=|psin(nu1,nu2,nu3)|Δ4=(3Volumtetrlaedre)22Δ1Δ2Δ3Δ4.{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}, \ mathbf {n_ {4} }) {\ bigr |}} {\ Delta _ {1}}} = {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {3}} , \ mathbf {n_ {4}}) {\ bigr |}} {\ Delta _ {2}}} = {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {4}}) {\ bigr |}} {\ Delta _ {3}}} = {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}) {\ bigr |}} {\ Delta _ {4}}} \\ [4pt] = {} & {\ frac {(3 \ operatorname {Volume} _ {\ mathrm {tetraedre}}) ^ {2}} {2 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} \ Delta _ {3} \ Delta _ {4 }}} \ ,. \ end {align}}}(mai general, pentru un n - simplex (de exemplu un triunghi ( n = 2 ), unde această formulă corespunde legii sinusurilor sau unui pentachorum ( n = 4 ) etc.)) al unui spațiu euclidian de dimensiune n , avem aceeași relație, valoarea comună fiind , unde V este volumul simplexului, iar P produsul zonelor fețelor sale).
(nuV)nu-1(nu-1)!P{\ displaystyle {\ frac {(nV) ^ {n-1}} {(n-1)! P}}}
Legea cosinusului
Un analog al legii cosinus leagă zonele de fețele la unghiurile diedre: .
Δeu2=Δj2+Δk2+Δl2-2(ΔjΔkcosθeul+ΔjΔlcosθeuk+ΔkΔlcosθeuj){\ displaystyle \ Delta _ {i} ^ {2} = \ Delta _ {j} ^ {2} + \ Delta _ {k} ^ {2} + \ Delta _ {l} ^ {2} -2 (\ Delta _ {j} \ Delta _ {k} \ cos \ theta _ {il} + \ Delta _ {j} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ik} + \ Delta _ {k} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ij})}
Relația dintre unghiurile diedrice
Prin proiectarea (ortogonală) a celor trei fețe pe planul feței și prin setare , putem vedea cu ușurință că aria feței este suma (algebrică) a ariilor proiectate, adică ; se deduce din acesta sistemul liniar omogen
. Deoarece acest sistem are soluția non-trivială corespunzătoare tetraedrului, determinantul este zero.
Feu,Fj,Fk{\ displaystyle F_ {i}, F_ {j}, F_ {k}}Fl{\ displaystyle F_ {l}}vs.euj=cosθeuj{\ displaystyle c_ {ij} = \ cos \ theta _ {ij}}Fl{\ displaystyle F_ {l}}Δl=Δeuvs.jk+Δjvs.euk+Δkvs.euj{\ displaystyle \ Delta _ {l} = \ Delta _ {i} c_ {jk} + \ Delta _ {j} c_ {ik} + \ Delta _ {k} c_ {ij}}{-Δ1+Δ2vs.34+Δ3vs.24+Δ4vs.23=0Δ1vs.34-Δ2+Δ3vs.14+Δ4vs.13=0Δ1vs.24+Δ2vs.14-Δ3+Δ4vs.12=0Δ1vs.23+Δ2vs.13+Δ3vs.12-Δ4=0{\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2} c_ {34} + \ Delta _ {3} c_ {24} + \ Delta _ {4} c_ {23} = 0 \\\ Delta _ {1} c_ {34} - \ Delta _ {2} + \ Delta _ {3} c_ {14} + \ Delta _ {4} c_ {13} = 0 \\\ Delta _ { 1} c_ {24} + \ Delta _ {2} c_ {14} - \ Delta _ {3} + \ Delta _ {4} c_ {12} = 0 \\\ Delta _ {1} c_ {23} + \ Delta _ {2} c_ {13} + \ Delta _ {3} c_ {12} - \ Delta _ {4} = 0 \ end {cases}}}|-1vs.34vs.24vs.23vs.34-1vs.14vs.13vs.24vs.14-1vs.12vs.23vs.13vs.12-1|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} -1 & c_ {34} & c_ {24} & c_ {23} \\ c_ {34} & - 1 & c_ {14} & c_ {13} \\ c_ {24 } & c_ {14} & - 1 & c_ {12} \\ c_ {23} & c_ {13} & c_ {12} & - 1 \ end {vmatrix}}}
Extinderea acestui factor determinant, obținem o relație între unghiurile diedre: .
1-∑1≤eu<j≤4vs.euj2+∑j=2k≠l≠j4vs.1j2vs.kl2=2(∑eu=1j≠k≠l≠eu4vs.eujvs.eukvs.eul+∑2≤j<k≤4l≠j,kvs.1jvs.1kvs.jlvs.kl){\ displaystyle 1- \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq 4} c_ {ij} ^ {2} + \ sum _ {j = 2 \ atop k \ neq l \ neq j} ^ {4} c_ {1j} ^ {2} c_ {kl} ^ {2} = 2 \ left (\ sum _ {i = 1 \ atop j \ neq k \ neq l \ neq i} ^ {4} c_ {ij} c_ { ik} c_ {il} + \ sum _ {2 \ leq j <k \ leq 4 \ atop l \ neq j, k} c_ {1j} c_ {1k} c_ {jl} c_ {kl} \ right)}
Distanțele dintre margini
Prin presupuneri, cele două margini și nu sunt coplanare; selectarea (pe ) și (pe ) picioarele perpendicularei lor comune (adică linia este ortogonală cu cele două margini), distanța dintre cele două margini , este definită de lungimea segmentului (c 'este cea mai mică distanță între oricare două puncte de pe margini).
eeuj{\ displaystyle e_ {ij}}ekl{\ displaystyle e_ {kl}}Peuj{\ displaystyle P_ {ij}}eeuj{\ displaystyle e_ {ij}}Pkl{\ displaystyle P_ {kl}}ekl{\ displaystyle e_ {kl}}(PeujPkl){\ displaystyle (P_ {ij} P_ {kl})}Reuj{\ displaystyle R_ {ij}}[Peuj,Pkl]{\ displaystyle [P_ {ij}, P_ {kl}]}
Calculele trigonometrice de bază, dar destul de dureroase, conduc la următoarea formulă:
Reuj=12V4deuj2dkl2-(deuk2+djl2-deul2-djk2)2{\ displaystyle R_ {ij} = {\ frac {12V} {\ sqrt {4d_ {ij} ^ {2} d_ {kl} ^ {2} - (d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ {il} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}) ^ {2}}}}},
unde numitorul este o variație a formulei lui Bretschneider (en) pentru patrulatere.
Referințe
-
(în) (în) G. Richardson , „ The Trigonometry of the Tetrahedron ” , The Mathematical Gazette , Vol. 2, nr . 32,1 st martie 1902, p. 149–158 ( DOI 10.2307 / 3603090 , JSTOR 3603090 , citiți online )
-
100 de mari probleme de matematică elementară , New York, publicațiile Dover,1 st iunie 1965( ISBN 9780486613482 )
-
(în) André Rassat și Patrick W. Fowler , „ Există un„ Tetraedru cel mai chiral ”? " , Chimie: un jurnal european , vol. 10, n o 24,2004, p. 6575–6580 ( PMID 15558830 , DOI 10.1002 / chem.200400869 )
-
Sinusul polar este definit ca o măsură a unghiului solid format prin triedru a trei vectori: avem .psin(nu1,nu2,nu3)=det(nu1,nu2,nu3)‖nu1‖.‖nu2‖.‖nu3‖{\ displaystyle \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}) = {\ frac {\ operatorname {det} (\ mathbf { n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}})} {\ | \ mathbf {n_ {1}} \ |. \ | \ mathbf {n_ {2}} \ |. \ | \ mathbf {n_ {3}} \ |}}}
-
(ro) Jung Rye Lee , „ Legea cosinusului într-un tetraedru ” , J. Coreea. Soc. Matematica. Educ. Ser. B: Pur Appl. Matematica. , vol. 4, n o 1,Iunie 1997, p. 1-6 ( ISSN 1226-0657 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">