Transversalitate
În algebra liniară și geometria diferențială , proprietatea transversalității este un calificativ pentru intersecția subspaiilor sau submanifoldurilor. Este într-un fel opusul noțiunii de tangență .
Două subspații , ale unui spațiu vectorial sunt numite transversal atunci când . Această condiție poate fi rescrisă, dacă este necesar, în ceea ce privește codimensiunea :
F{\ displaystyle F}
G{\ displaystyle G}
E{\ displaystyle E}
F+G=E{\ displaystyle F + G = E}![{\ displaystyle F + G = E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc12300b868b14dbcfb042de0ad3b23a842d6b6)
codim(F)+codim(G)=codim(F∩G){\ displaystyle \ operatorname {codim} (F) + \ operatorname {codim} (G) = \ operatorname {codim} (F \ cap G)}![{\ displaystyle \ operatorname {codim} (F) + \ operatorname {codim} (G) = \ operatorname {codim} (F \ cap G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c52e43fd5323a15f8a70ac01e3357179f700d9)
.
Două sub- spații afine , un spațiu afin sunt numite transversale dacă direcțiile lor sunt transversale , adică dacă
Da{\ displaystyle Y}
Z{\ displaystyle Z}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Da→+Z→=X→{\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} + {\ overrightarrow {Z}} = {\ overrightarrow {X}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} + {\ overrightarrow {Z}} = {\ overrightarrow {X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2262a5cf11d7019accd6bea1e8ff7cfc26f94b)
.
Se spune că două sub-colectoare și ale unui colector diferențial sunt transversale atunci când, pentru orice punct al spațiilor tangente și sunt transversale în spațiul tangent , adică dacă
M{\ displaystyle M}
NU{\ displaystyle N}
P{\ displaystyle P}
X{\ displaystyle x}
M∩NU{\ displaystyle M \ cap N}
TXM{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} M}
TXNU{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} N}
TXP{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} P}![{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa24cf03e935598e836f78f21e06d3e312484f5)
TXP=TXM+TXNU{\ displaystyle \ displaystyle T_ {x} P = T_ {x} M + T_ {x} N}
În cele ce urmează, desemnați dimensiunile respective ale .
m,nu,p{\ displaystyle m, n, p}
M,NU,P{\ displaystyle M, N, P}![M, N, P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a563828c737f58c198ebf921191aaa570543c0)
Note:
- Definiția rămâne valabilă pentru soiurile banachice.
- Două submanifolduri disjuncte sunt transversale.
- Dacă , atunci condiția de transversalitate poate fi verificată numai dacă submanifoldurile și sunt disjuncte.m+nu<p{\ displaystyle m + n <p}
M{\ displaystyle M}
NU{\ displaystyle N}![NU](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
Teorema - O intersecție transversală și non-goală este o subdiversitate diferențială a dimensiunii .
M∩NU{\ displaystyle M \ cap N}
m+nu-p{\ displaystyle m + np}![{\ displaystyle m + np}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3936a66c27ec4bb7a4e7e27c285d4b5ca60ec7)
Prin urmare, avem în acest caz relațiile
Soare(M∩NU)=Soare(M)+Soare(NU)-Soare(P).{\ displaystyle \ operatorname {dim} (M \ cap N) = \ operatorname {dim} (M) + \ operatorname {dim} (N) - \ operatorname {dim} (P).}
codim(M∩NU)=codim(M)+codim(NU).{\ displaystyle \ operatorname {codim} (M \ cap N) = \ operatorname {codim} (M) + \ operatorname {codim} (N).}
De exemplu, două suprafețe regulate ale spațiului tridimensional sunt transversale dacă și numai dacă nu au punct de tangență. În acest caz, intersecția lor formează o curbă regulată (posibil goală).
Numărul de intersecție
Generozitate
Teorema - Dacă și sunt două submanifolduri ale clasei ( ) de dimensiuni respective și , atunci există un -diffeomorfism al , cât mai aproape de identitate dorit în topologie , cum ar fi intersecția transversală .
M{\ displaystyle M}
NU{\ displaystyle N}
VSk{\ displaystyle C ^ {k}}
k≥1{\ displaystyle \ scriptstyle k \ geq 1}
m{\ displaystyle m}
nu{\ displaystyle n}
VSk{\ displaystyle C ^ {k}}
h{\ displaystyle h}
P{\ displaystyle P}
VSk{\ displaystyle C ^ {k}}
h(M){\ displaystyle h (M)}
NU{\ displaystyle N}![NU](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
În general, două submanifolduri se intersectează transversal, chiar dacă aceasta înseamnă deranjarea unuia dintre ele printr-o izotopie .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">