Teorema lui Rouché
În analiza complexă , teorema lui Rouche este o afirmație despre zerouri și polii de funcții meromorfe . Este numit în onoarea matematicianului francez Eugène Rouché .
State
Să fie un deschis pur și simplu conectat , să f și g să fie două funcții meromorfe pe un set finit de zerouri și poli. Fie γ o dantelă simplă cu imagine în formarea marginii unui compact . da
U⊂VS{\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C}}
U{\ displaystyle U}
F{\ displaystyle F}
U-F{\ displaystyle UF}
∂K{\ displaystyle \ partial K}
K{\ displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}![| f (z) -g (z) | <| g (z) |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a4413165c0a70e8deb01d43bf75808d1a8cea5)
pentru orice punct
z al lui
γ
asa de
Zf-Pf=Zg-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}![{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd8916938612a296b9f3084211af1e3479e69f1)
unde și sunt respectiv numărul de zerouri și poli (ținând cont de multiplicitatea lor) conținut în .
Zf{\ displaystyle Z_ {f}}
Pf{\ displaystyle P_ {f}}
f{\ displaystyle f}
K{\ displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
Exemplu
Luați în considerare cele două funcții polinomiale f și g definite de:
f(z)=z8-5z3+z-2,g(z)=-5z3{\ displaystyle f (z) = z ^ {8} -5z ^ {3} + z-2, \ quad g (z) = - 5z ^ {3}}![{\ displaystyle f (z) = z ^ {8} -5z ^ {3} + z-2, \ quad g (z) = - 5z ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d94be86e2195b518083a326fe2702a02e55165)
și ia în considerare cercul pentru fală . Verificăm că pe această dantelă:
VS(0,1): ={z∈VS∣|z|=1}{\ displaystyle C (0,1): = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid | z | = 1 \}}![{\ displaystyle C (0,1): = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid | z | = 1 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e173c7bd87b5224e40dfd308d0e7142e34bb2ac8)
|f(z)-g(z)|=|z8+z-2|≤|z|8+|z|+2=4{\ displaystyle | f (z) -g (z) | = | z ^ {8} + z-2 | \ leq | z | ^ {8} + | z | + 2 = 4}![| f (z) -g (z) | = | z ^ {8} + z-2 | \ leq | z | ^ {8} + | z | + 2 = 4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08920986cd97e32e95c5d62aa7cd8f3073b8691)
și
|g(z)|=|-5z3|=5{\ displaystyle | g (z) | = | -5z ^ {3} | = 5}![{\ displaystyle | g (z) | = | -5z ^ {3} | = 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefc9b0eddd5392e4acacb55adcd93671089cb77)
.
Prin urmare, putem aplica teorema lui Rouché:
Zf=Zg{\ displaystyle Z_ {f} = Z_ {g}}![Z_ {f} = Z_ {g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b5f06cf0dd326d15406c7870bc64a9cf1cabae)
întrucât f și g nu au pol. Pe de altă parte, g are un zero triplu la origine, ceea ce ne spune că funcția f admite trei zerouri pe discul deschis .
D(0,1){\ displaystyle D (0,1)}![D (0,1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e278b4ff5c32f3cce4a2ea680f269a5398a7d49)
Demonstrație
Dacă pentru toate , atunci f și g nu dispar (altfel inegalitatea strictă nu ar putea fi verificată). Fie h funcția meromorfă activată , holomorfă și care nu se anulează definită de:
|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}
z∈γ{\ displaystyle z \ in \ gamma}
γ{\ displaystyle \ gamma}
U{\ displaystyle U}
γ{\ displaystyle \ gamma}![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
h=fg{\ displaystyle h = {\ frac {f} {g}}}![{\ displaystyle h = {\ frac {f} {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be105cd38ab77dce2d10ccec1828db902c92072)
.
Pentru orice punct z al lui γ ,
|h(z)-1|=|f(z)-g(z)||g(z)|<1{\ displaystyle | h (z) -1 | = {\ frac {| f (z) -g (z) |} {| g (z) |}} <1}![{\ displaystyle | h (z) -1 | = {\ frac {| f (z) -g (z) |} {| g (z) |}} <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d863f26320d6acf150ae9f13fdb64c3fd2a4a67)
.
Imaginea par este, prin urmare, conținută în discul deschis de raza 1 și centrul 1 și, prin urmare, nu se învârte în jurul originii. Prin urmare, prin aplicarea principiului argumentului , avem:
γ{\ displaystyle \ gamma}
h{\ displaystyle h}
D(1,1){\ displaystyle D (1,1)}![D (1.1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6606c8ee3e5724a3dfdbe3d04c8b989d5f414c1)
12πeu∫γh′(z)h(z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {h '(z)} {h (z)}} \ mathrm {d} z = 0}![{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {h '(z)} {h (z)}} \ mathrm {d} z = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17049217603ff500180af8d13b44376c4bd823ba)
.
Pe de altă parte,
h′(z)h(z)=f′(z)f(z)-g′(z)g(z){\ displaystyle {\ frac {h '(z)} {h (z)}} = {\ frac {f' (z)} {f (z)}} - {\ frac {g '(z)} { g (z)}}}![{\ displaystyle {\ frac {h '(z)} {h (z)}} = {\ frac {f' (z)} {f (z)}} - {\ frac {g '(z)} { g (z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a0bfa250226da5ef6f364ace361c15c4e28eae)
.
Prin urmare,
12πeu∫γf′(z)f(z)dz-12πeu∫γg′(z)g(z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \ mathrm {d} z - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ mathrm {d} z = 0}![{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \ mathrm {d} z - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ mathrm {d} z = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfbe7c2d856728cbd28f184889797dd36e4afc1)
.
În cele din urmă, folosind din nou principiul argumentului, obținem
Zf-Pf=Zg-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}![{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd8916938612a296b9f3084211af1e3479e69f1)
.
Aplicații
Fie un polinom cu valori în și definite de:
P{\ displaystyle P}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
P(z)=la0+la1z+⋯+lanuznu{\ displaystyle P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}}![P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d08f78bb6c0f1804d3f7314a3d29c3bc8daf61d)
presupunând . Fie suficient de mare astfel încât pentru toate (cercul de rază R) să avem:
lanu≠0{\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}
R>0{\ displaystyle R> 0}
z∈VS(0,R){\ displaystyle z \ în C (0, R)}![z \ în C (0, R)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52b9462af1c62d90f8754b1aaff900061f2b59d)
|P(z)-lanuznu|=|la0+⋯+lanu-1znu-1|<|lanuznu|{\ displaystyle | P (z) -a_ {n} z ^ {n} | = | a_ {0} + \ cdots + a_ {n-1} z ^ {n-1} | <| a_ {n} z ^ {n} |}![| P (z) -a_ {n} z ^ {n} | = | a_ {0} + \ cdots + a _ {{n-1}} z ^ {{n-1}} | <| a_ {n } z ^ {n} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f167294f426ef1e3d6d43135094505ee4fd721)
(de exemplu, potrivit).
R=1+max(|la0|,...,|lanu-1|)|lanu|{\ displaystyle R = 1 + {\ frac {\ max (| a_ {0} |, \ ldots, | a_ {n-1} |)} {| a_ {n} |}}}![R = 1 + {\ frac {\ max (| a_ {0} |, \ ldots, | a _ {{n-1}} |)} {| a_ {n} |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1c53c1dc173942960d3517a82ab29ccb39935f)
Deoarece admite un zero de ordine la origine, trebuie să admită zerouri pe discul deschis prin aplicarea teoremei lui Rouché.
lanuznu{\ displaystyle a_ {n} z ^ {n}}
nu{\ displaystyle n}
P{\ displaystyle P}
nu{\ displaystyle n}
D(0,R){\ displaystyle D (0, R)}![D (0, R)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb1e2a10b04b825412ac529e33c090e6293c9b2)
Generalizări
Un secol mai târziu, Theodor Estermann a slăbit ipoteza lui Rouché, obținând:|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}![{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a4413165c0a70e8deb01d43bf75808d1a8cea5)
Să f și g să fie două funcții meromorfe în interiorul unei rectifica singură buclă γ și continuă la limita, și astfel încât
|f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| f (z) | + | g (z) |}![| f (z) -g (z) | <| f (z) | + | g (z) |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed3249b6e819628c53202b3d33711dffb0d4745)
pentru orice punct
z al lui
γ .
Deci, ca mai sus ,
Zf-Zg=Pf-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -Z_ {g} = P_ {f} -P_ {g}}![{\ displaystyle Z_ {f} -Z_ {g} = P_ {f} -P_ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b02121079fb80039f6bb1e689f24a7716cd0d9c)
.
Referințe
-
Jurnalul École Polytechnique , 1862, p. 217-218 .
-
(în) T. Estermann, Numere și funcții complexe , Athlone Press, Londra, 1962, p. 156.
-
(în) Analiza complexă clasică I-Hsiung Lin : o abordare geometrică , vol. 1, World Scientific ,2011( ISBN 978-9-81426123-4 , citit online ) , p. 558.
Vezi și tu
Articol asociat
Teorema lui Hurwitz asupra secvențelor funcțiilor holomorfe
Bibliografie
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">