Teorema lui Gerschgorin

În analiza numerică , teorema lui Gerschgorin este un rezultat care permite legarea a priori a valorilor proprii ale unei matrice pătrate. A fost publicat în 1931 de matematicianul belarus Semion Gerschgorin . Acest rezultat este utilizat în special în cazul particular al matricelor stochastice.

Teorema

State

Fie A o matrice complexă de mărime n × n , de termen general ( a ij ). Pentru fiecare index de rând i între 1 și n introducem discul Gerschgorin corespunzător

{\ displaystyle D_ {i} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}, | a_ {ii} -z | \ leq \ sum _ {j \ neq i} | a_ {ij} | \ right \} = D (a_ {ii}, R_ {i}) ~,}

care constituie efectiv un disc în planul complex, cu raza R i = Σ j ≠ i | a ij |.

Teoremă : fiecare valoare proprie a lui A aparține cel puțin unuia dintre discurile Gerschgorin.

Prin aplicarea teoremei la matricea transpusă a lui A , sunt date noi informații despre localizarea valorilor proprii: acestea se găsesc în uniunea discurilor Gerschgorin asociate coloanelor

{\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {j} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}, | a_ {jj} -z | \ leq \ sum _ {i \ neq j} | a_ { ij} | \ right \} = D (a_ {jj}, {\ tilde {R}} _ {j}) ~.}

Demonstrație

Fie λ o valoare proprie a lui A și x = ( x 1 , ..., x n ) un vector propriu asociat. Pentru i între 1 și n , avem

(\ lambda -a _ {{ii}}) x_ {i} = \ sum _ {{j \ neq i}} a _ {{ij}} x_ {j}

Să alegem un index i pentru care modulul lui x i este maxim. Deoarece x este un vector propriu, | x i | este diferit de zero și este posibil să se formeze coeficientul

| a _ {{ii}} - \ lambda | = \ left | \ sum _ {{j \ neq i}} a _ {{ij}} {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right | \ leq \ sum _ {{j \ neq i}} | a _ {{ij}} {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} | \ leq \ sum _ {{j \ neq i}} | a _ {{ij}} |

O variantă a dovezii este de a observa că 0 este valoarea proprie a și de a utiliza o lemă Hadamard . $A- \ lambda I_ {n}$

Note și referințe

Note

Numele său poate fi transcris în diferite moduri: Gershgorin, Geršgorin, Gerschgorin sau Guerchgorine.

Referințe

Patrick Lascaux și Raymond Théodor, Analiza numerică matricială aplicată artei ingineriei , t. 1: Metode directe [ detaliile edițiilor ]
(de) S. Gerschgorin, „Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. »Izv. Akad. Nauk. URSS Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, 749-754, 1931
(ro) Richard S. Varga , Geršgorin and His Circles , Springer ,2004, 230 p. ( ISBN 978-3-540-21100-6 , citit online ), [ erată ]

Vezi și tu

Articol asociat

Cassini oval

linkuri externe

(ro) Eric W. Weisstein , „ Teorema cercului Gershgorin ” , pe MathWorld
Localizarea valorilor proprii: discurile Gerschgorin , unele proprietăți pe discurile Gerschgorin.