Teorema Erdős-Szemerédi
În combinatorica aritmetică , teorema Erdős-Szemerédi asigură existența constantelor strict pozitive c și ε astfel încât pentru orice mulțime finită A de numere reale ,
max(|LA+LA|,|LA⋅LA|)≥vs.|LA|1+ε{\ displaystyle \ max (| A + A |, | A \ cdot A |) \ geq c | A | ^ {1+ \ varepsilon}}
unde | | denotă cardinal , suma seturilor de A cu sine șiLA+LA={la+b | la,b∈LA}{\ displaystyle A + A = \ {a + b ~ | ~ a, b \ în A \}}
LA⋅LA={la⋅b | la,b∈LA}.{\ displaystyle A \ cdot A = \ {a \ cdot b ~ | ~ a, b \ in A \}.}
Se poate întâmpla ca A să aibă o dimensiune comparabilă cu A + A (dacă A este în progresie aritmetică ) sau cu A ∙ A (dacă A este în progresie geometrică ). Prin urmare, teorema Erdős-Szemerédi poate fi interpretată informal spunând că un set „mare” nu se poate „comporta” simultan ca o progresie aritmetică și o progresie geometrică; putem spune, de asemenea, că linia reală nu conține un set care „arată” ca un subinel finit. Acesta este primul exemplu al ceea ce se numește acum „fenomenul produs-sumă”, despre care se știe că are loc pentru multe inele și corpuri, inclusiv câmpuri finite .
Erdős și Szemerédi au conjecturat că ε poate fi ales în mod arbitrar aproape de 1. În 2009, cel mai bun rezultat în această direcție este cel al lui Solymosi: ε poate fi ales în mod arbitrar aproape de 1/3.
Note și referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia
engleză intitulat
„ Erdős - Szemerédi theorem ” (a se vedea lista autorilor ) .
-
(în) P. Erdős și E. Szemerédi , „Sume și produse de numere întregi” în P. Erdős, Alpár L.,
G. Halász (hu) și A. Sárközy , Studii în matematică pură: spre memoria lui Pavel Turan , Birkhäuser ,1983( citiți online ) , p. 213-218
-
(în) Terence Tao , „ Fenomenul produs-sumă în inele arbitrare ” , Matematică discretă. , vol. 4, n o 22009, p. 59-82, arXiv : 0806.2497
-
(în) Jozsef Solymosi , „ Energie de limitare multiplicativă prin sumă ” , Advan. Matematica. , vol. 222, n o 22009, p. 402-408, preimprimare arXiv : 0806.1040
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">