Teorema Rouché-Fontené

Teorema Rouche - Fontene este o teoremă de algebră liniară , care oferă numărul de soluții ale unui sistem de ecuații liniare cunoscând gradul de ei matrice augmented (în) și matricea de coeficienți. Această teoremă este cunoscută sub numele de Kronecker - Capelli (ro) în Rusia , Rouché-Capelli în Italia și în țările vorbitoare de limbă engleză și Rouché- Frobenius în Spania și America Latină .

Declarație formală

Un sistem de ecuații liniare cu n variabile, de forma AX = b , are o soluție dacă și numai dacă rangul matricei coeficienților A este egală cu cea a matricei augmented ( A | b ). Dacă există soluții, atunci acestea formează un subspatiu afin de ℝ n de dimensiunea n - rang ( A ). În special :

dacă n = rang ( A ), soluția este unică;
în caz contrar, există soluții interminabile.

Exemple

Luați în considerare sistemul de ecuații

x + y + 2 z = 3 x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 2. Matricea coeficientului este

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {pmatrix}}}

iar matricea augmentată este

{\ displaystyle (A | B) = \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \ end {matrice}} \ dreapta).}

Deoarece aceste două matrice au același rang, și anume 2, există cel puțin o soluție; și întrucât rangul lor este strict mai mic decât numărul necunoscutelor (acesta din urmă fiind 3) există o infinitate de soluții.

Pe de altă parte, dacă luăm în considerare sistemul

x + y + 2 z = 3 x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 5, matricea coeficienților este

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {pmatrix}}}

iar matricea augmentată este

{\ displaystyle (A | B) = \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 5 \ end {matrice}} \ dreapta).}

În acest exemplu, matricea coeficienților este de rangul 2, în timp ce matricea augmentată este de rangul 3; prin urmare, acest sistem de ecuații nu are nicio soluție. Într-adevăr, o creștere a numărului de linii liniar independente face ca sistemul de ecuații să fie inconsistent.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Teorema Rouché-Capelli ” ( vezi lista autorilor ) .

FONTENÉ Georges, franceză, 1848-1923 despre cronomat.

(ro) Alberto Carpinteri (it) , Mecanica structurală: o abordare unificată , Taylor & Francis ,1997, 761 p. ( ISBN 978-0-419-19160-5 ) , p. 74