Teorema lui Nagel

Există mai multe teoreme Nagel , toate legate de geometria triunghiului .

Teorema I

Fie ABC un triunghi. Fie H ortocentrul său și O să fie centrul cercului circumscris acestui triunghi. Dacă unghiul este acut, atunci are aceeași bisectoare ca unghiul .

\ widehat {BAC}

{\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}

Demonstrație

Triunghiul ABC nu are unghiuri obtuze

Centrul cercului circumscris O și ortocentrul H sunt apoi interioare triunghiului ABC .

Fie $β$ unghiul , care este înscris în cercul circumscris (vezi Figura A). este unghiul central corespunzător de valoare $2$ $β$ . Triunghiul AOC este isoscel deoarece OA și OC sunt raze ale cercului circumscris. Unghiurile și sunt egale între ele și cu $α$ $= π / 2 -$ $β$ . $\ widehat {ABC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {COA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {OAC}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {ACO}}}$

Ori am piciorul altitudinea de la A . Triunghiul ABI este unghi drept și unghiul este $π / 2 -$ $β$ $=$ $α$ . ${\ displaystyle {\ widehat {BAI}}}$

Bisectoarea unghiului este, prin urmare, și bisectoarea unghiului, care este și unghiul , deoarece ortocentrul H se află în interiorul segmentului AI . Rețineți că unghiul este zero , atunci când unghiurile vârfurilor B și C a triunghiului ABC sunt identice, care are loc în cazul în care triunghiul este echilateral sau isoscel în A . $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Triunghiul ABC este dreptunghi

Centrul cercului circumscris O este punctul mijlociu al hipotenuzei, ortocentrul H este vârful unghiului drept.

Unghiul nu este definit dacă A este vârful unghiului drept și teorema lui Nagel nu se aplică acestui vârf. ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Pentru un alt summit - ul, unghiurile și sunt aceleași ca AH și AO sunt cele două laturi ale triunghiului de îmbinare A . Prin urmare, au aceeași bisectoare. $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Triunghiul ABC are un unghi obtuz

Centrul cercului circumscris O și ortocentrul H sunt apoi ambele în afara triunghiului ABC .

Dacă A este unul dintre cele două vârfuri ale unghiului acut (vezi Figura B), dovada este similară cu cazul triunghiului fără un unghi obtuz. Înălțimea AI și raza AO sunt aici segmente în afara triunghiului. Unghiul și unghiul sunt identice, deoarece ortocentrul H se află în afara înălțimii AI a laturii înălțimii piciorului. ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$

Dacă unghiul de la A este unghiul obtuz (a se vedea figura C) atunci, tot cu același raționament, unghiurile și au aceeași bisectoare. Cu toate acestea, deoarece ortocentrul H este aici în afara triunghiului, dar pe partea vârfului înălțimii, bisectoarea unghiului este linia (D) care formează un unghi de $π / 2$ cu bisectoarea unghiului și a lui Nagel. teorema nu se aplică. $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {HAO}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {IAO}}}$

Concluzie

Cu excepția cazului în care unghiul vârfului considerat A este corect, dacă înlocuim ortocentrul H cu I piciorul înălțimii rezultat din A , atunci unghiurile și întotdeauna au aceeași bisectoare. $\ widehat {BAC}$ ${\ displaystyle {\ widehat {OAI}}}$

Teorema III

Într-un triunghi, liniile care unesc picioarele înălțimilor sunt respectiv perpendiculare pe razele care unesc vârfurile cu centrul cercului circumscris.

Referințe

Dl Housel, " Dovada teoremei III dl Nagel ," Annals of Mathematics News , 1 st seria, vol. 19,1860, p. 438-440 ( citește online )

Articol asociat

Punctul Nagel