În algebra comutativă , teorema lui Krull este un rezultat fundamental care stabilește existența idealurilor maxime pentru inelele comutative . A fost demonstrat în 1929 de matematicianul german Wolfgang Krull . Relativ la teoria Zermelo-Fraenkel , teorema lui Krull este echivalentă cu axioma alegerii .
Pentru propria ideală I al unui inel comutativ unital A , nu există cel puțin o maximă ideală de un conținut I .
(Când inelul coeficientului A / I este finit, această existență este imediată.)
O afirmație echivalentă este că orice inel comutativ diferit de zero are cel puțin un ideal maxim ( a fortiori cel puțin un ideal prim ).
Krull demonstrase acest rezultat folosind teorema ordinii corecte , echivalentă cu axioma de alegere . Max Zorn , în timp ce ignoră articolul lui Krull, oferă o altă dovadă publicată în 1935 folosind ceea ce se numește acum lema lui Zorn , un alt echivalent al axiomei de alegere, în articolul în care îl introduce pe acesta din urmă și oferă multe aplicații algebrei.
Răspunzând la o întrebare adresată de Dana Scott , Wilfrid Hodges a demonstrat în 1978 că teorema lui Krull este echivalentă cu axioma alegerii, în teoria Zermelo-Fraenkel
DemonstrațieConsiderăm ansamblul idealurilor proprii ale lui A care conține I , înzestrat cu relația de incluziune; conține I, prin urmare, nu este gol. Unirea oricărui lanț ne-gol de idealuri proprii care conține I este în mod clar un ideal care conține I și acest ideal este încă adecvat, deoarece nu conține 1. Setul considerat este , prin urmare , inductiv, prin urmare, în conformitate cu lema lui Zorn, are un element de maxim , care este apoi un ideal maximal ce conține I .
Fie A un inel comutativ care nu este redus la 0.