Teorema de inversare a limitelor

În topologie și analiză , teorema inversării limitei se aplică unei funcții a unui spațiu produs într-un spațiu complet .

State

X și Y două spații topologice ,
E un spațiu metric complet,
are un punct aderent în X la o parte A ,
b un punct aderent în Y la o parte B și
f o aplicație A × B în E .

Presupunem că există hărți g : A → E și h : B → E astfel încât

$\ lim _ {{y \ to b}} f (x, y) = g (x)$ uniform peste A și
$\ lim _ {{x \ to a}} f (x, y) = h (y)$ doar pe B .

Atunci f are o limită la punctul ( a , b ); în special, limitele lui h în b și ale g în a există și sunt egale:

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to b} \ left (\ lim _ {x \ to a} f (x, y) \ right) = \ lim _ {(x, y) \ to (a, b) } f (x, y) = \ lim _ {x \ to a} \ left (\ lim _ {y \ to b} f (x, y) \ right)}

Corolar

Cazul particular B = ℕ, b = $+ \infty$ și Y = ℕ ∪ { $+ \infty$ } prevăzut cu topologia ordinului sau topologia co-finisată (pentru care vecinătățile $+ \infty$ sunt aceleași) dă:

Să X un spațiu topologic, E un spațiu metric complet, are un punct de cluster în X la o porțiune A și ( f n ) o secvență de funcții ale A în E . da

( f n ) converge uniform pe A la o funcție g și
pentru orice număr întreg n , funcția f n admite are o limită h n

atunci funcția g admite o limită la o și secvența ( h n ) converge către această limită:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ lim _ {x \ to a} f_ {n} (x) \ right) = \ lim _ {x \ to a} \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) \ right)}

Note și referințe

Pentru o dovadă - care se bazează pe criteriul Cauchy pentru o funcție - vezi de exemplu „Corolar: teorema inversiunii limită” în lecția de topologie (cap. „Completitudine”) de pe Wikiversitate .
Această teoremă a fost demonstrată în cazul în care X și Y sunt spații metrice de (en) Zoran Kadelburg și Milosav M. Marjanović, „ Interchaging two limits ” , The Teaching of Mathematics , vol. 8, n o 1,2005, p. 15-29 ( ISSN 2406-1077 , citiți online )Dar mai întâi, dacă X = Y = E = ℝ , de (în) Lawrence M. Graves, Theory of Functions of Real Variables , McGraw-Hill ,1956, A 2 -a ed. ( 1 st ed. 1942) ( citit on - line ) , p. 100, care o atribuie lui EH Moore (1900, manuscris nepublicat) și WS Osgood (în) (1907, caz special al suitelor duble).
Bernard Joppin, MP Analize , Bréal ,2004( citiți online ) , p. 131.