Pauză
În teoria probabilității , în special în studiul proceselor stochastice , un timp de oprire (numit și timp opțional de oprire și care corespunde unui timp Markov sau moment definit Markov ) este o variabilă aleatorie a cărei valoare este interpretată ca momentul în care comportamentul un anumit proces stocastic are un anumit interes. Timpul de nefuncționare este adesea definit de o regulă de închidere, un mecanism pentru a decide dacă se continuă sau se oprește un proces pe baza poziției actuale și a evenimentelor din trecut.
Acest timp de oprire poate fi, de exemplu, momentul în care se termină un proces stochastic sau, într-un proces Poisson și alte procese Lévy cu creșteri staționare independente, momentul unui „salt” incremental.
Această noțiune de nefuncționare care nu se bazează pe vreun eveniment viitor este strâns legată de proprietatea puternică a proceselor Markov .
Timpii de oprire joacă un rol important în teoria deciziei, iar în martingale sunt guvernate de teorema stopului lui Doob (sau teorema opțională a opririi).
Definiții
Definiție - O variabilă aleatorie este un timp de oprire cu privire la o filtrare dacă,
T:Ω→NU∪{∞}{\ displaystyle T: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \}}
(Fnu)nu≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}
∀nu∈NU,{T=nu}∈Fnu,{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ {T = n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n},}
sau, într-un mod echivalent, dacă,
∀nu∈NU,{T≤nu}∈Fnu.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ {T \ leq n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}
Interpretare
Să ne imaginăm că desemnează aici tribul generat ulterior și că variabilele aleatorii reprezintă rezultatele unui jucător în timpul părților succesive ale unui joc. În cazul variabilelor aleatoare cu valori într-un spațiu de stare finit sau numărabil, o parte aparține la dacă și numai dacă există astfel încât
Fnu {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \}
(Xk)0≤k≤nu, {\ displaystyle \ scriptstyle \ (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}, \}
Xk {\ displaystyle \ scriptstyle \ X_ {k} \}
E {\ displaystyle \ scriptstyle \ E \}
LA⊂Ω {\ displaystyle \ scriptstyle \ A \ subset \ Omega \}
Fnu {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} B⊂Enu+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ B \ subset E ^ {n + 1} \}
LA={(X0,X1,...,Xnu)∈B}={ω∈Ω | (Xk(ω))0≤k≤nu∈B}.{\ displaystyle {\ begin {align} A & = \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ în B \ right \} \\ & = \ left \ { \ omega \ in \ Omega \ | \ \ left (X_ {k} (\ omega) \ right) _ {0 \ leq k \ leq n} \ in B \ right \}. \ end {align}}}
Să presupunem că reprezintă numărul jocului după care jucătorul decide să nu mai joace: este deci un timeout dacă și numai dacă decizia de a opri este luată pe baza rezultatelor jocurilor deja jucate în momentul jocului. adică dacă pentru orice există un subset cum ar fi:
T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \}
T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} nu {\ displaystyle \ scriptstyle \ n \}
Bnu⊂Enu+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ B_ {n} \ subset E ^ {n + 1} \}
{T=nu}⇔{(X0,X1,...,Xnu)∈Bnu}.{\ displaystyle \ {T = n \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ în B_ {n} \ right \}. }
Momentul în care jucătorul se oprește este, prin urmare, o perioadă de timp, dacă decizia de oprire nu ia în considerare rezultatele viitoarelor jocuri, prin urmare, în ipoteza că darul de vedere dublă și înșelăciune sunt excluse.
Notări
- Fie o serie de variabile aleatorii (un proces stochastic ) și T un timp de oprire în ceea ce privește o filtrare . Procesul observat la momentul T (sau oprit la momentul T ) este notat și este definit de(Xnu)nu≥0 {\ displaystyle (X_ {n}) _ {n} \ geq 0 \}
(Fnu)nu≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}} XT(ω), {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega), \}
XT(ω)=XT(ω)(ω)=∑nu≥0Xnu(ω)1T(ω)=nu.{\ displaystyle {\ begin {align} X_ {T} (\ omega) & = X_ {T (\ omega)} (\ omega) \\ & = \ sum _ {n \ geq 0} X_ {n} (\ omega) 1_ {T (\ omega) = n}. \ end {align}}}
În ansamblu, definiția lui este problematică: ambiguitatea este de facto eliminată prin poziționare
{ω∈Ω|T(ω)=+∞}, {\ displaystyle \ {\ omega \ in \ Omega \, | \, T (\ omega) = + \ infty \}, \}
XT(ω) {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega) \}
XT(ω)=0. {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega) = 0. \}
- Fie timpii morți și fieT{\ displaystyle T \,}
NU∈NU:{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}:}
-
T∧NU{\ displaystyle T \ wedge N}
este variabila aleatorie definită de (T∧NU)(ω)=min(T(ω),NU);{\ displaystyle (T \ wedge N) (\ omega) = \ min (T (\ omega), N) \,;}
-
T∨NU{\ displaystyle T \ vee N}
este variabila aleatorie definită de .(T∨NU)(ω)=max(T(ω),NU){\ displaystyle (T \ vee N) (\ omega) = \ max (T (\ omega), N) \,}
Proprietăți
Proprietate - Fie timpii morți, fie . Deci și sunt timpii morți.
T{\ displaystyle T \,}NU∈NU{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}
S: =T∧NU, S′: =T∨NU {\ displaystyle S: = T \ wedge N, \ S ^ {\ prime}: = T \ vee N \}
S′′: =T+NU {\ displaystyle \ S ^ {\ prime \ prime}: = T + N \}
Demonstrație
Vom demonstra doar primul punct, celelalte două fiind similare:
{S=nu}={T∧NU=nu}={T=nu,nu≤NU}∪{nu=NU,T≥NU}.{\ displaystyle \ {S = n \} = \ {T \ wedge N = n \} = \ {T = n, n \ leq N \} \ cup \ {n = N, T \ geq N \}.}
Aur
{T=nu}∈Fnu și {T≥NU}={T≤NU-1}vs.∈FNU-1⊂FNU.{\ displaystyle \ {T = n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n} \ {\ text {and}} \ {T \ geq N \} = \ {T \ leq N-1 \} ^ {c} \ in {\ mathcal {F}} _ {N-1} \ subset {\ mathcal {F}} _ {N}.}
Proprietate - La fel, dacă sunt perioade de nefuncționare, atunci este.
S et T{\ displaystyle S \ și \ T}
S∧T{\ displaystyle S \ wedge T}
Definiție și proprietate - Fie un timp de nefuncționare și este numit eveniment înainte de dacă:
T{\ displaystyle T \,}LA∈F∞ : LA{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {\ infty} \: \ A \,}
T{\ displaystyle T \,}
∀nu∈NU LA∩(T=nu)∈Fnu.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}
Toate aceste evenimente formează un sub-trib al tribului numit înainte și notatF∞{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}
T{\ displaystyle T \,}FT.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}.}
Demonstrație
-
FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}
conține Ω{\ displaystyle \ Omega \,}
-
FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}} este stabil prin unire numărabilă
- Fie . Noi Undenu∈NU{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
LA∩(T=nu)∈Fnu et (T=nu)∈Fnu. {\ displaystyle A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n} \ și \ (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}. \}
Fnu∋(T=nu)∩(LA∩(T=nu))vs.=(T=nu)∩(LAvs.∪(T≠nu)){\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} \ ni (T = n) \ cap (A \ cap (T = n)) ^ {c} = (T = n) \ cap (A ^ {c } \ cup (T \ neq n))}
=((T=nu)∩LAvs.)∪((T=nu)∩(T≠nu))=((T=nu)∩LAvs.)∪∅=LAvs.∩(T=nu){\ displaystyle = ((T = n) \ cap A ^ {c}) \ cup ((T = n) \ cap (T \ neq n)) = ((T = n) \ cap A ^ {c}) \ cup \ emptyset = A ^ {c} \ cap (T = n)}
,
și este stabil prin complementaritate.
FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}
Propoziție - Fie și să fie de două ori de oprire astfel încât ps. Avem atunci .
S{\ displaystyle S \,}
T{\ displaystyle T \,}S≤T{\ displaystyle S \ leq T}
FS⊂FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {S} \ subset {\ mathcal {F}} _ {T}}
Demonstrație
Fie , adică . Cu cât mai multe ps . Ca urmare,
LA∈FS{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {S}}
∀nu∈NU , LA∩(S≤nu)∈Fnu{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \, \ A \ cap (S \ leq n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}}
S≤T{\ displaystyle S \ leq T \,}
(T≤nu)⊂(S≤nu){\ displaystyle (T \ leq n) \ subset (S \ leq n)}
LA∩(T≤nu)=LA∩(T≤nu)∩(S≤nu).{\ displaystyle A \ cap (T \ leq n) = A \ cap (T \ leq n) \ cap (S \ leq n).}
Aurul și pentru că este o perioadă de nefuncționare. Prin urmare
LA∩(S≤nu)∈Fnu{\ displaystyle A \ cap (S \ leq n) \ în {\ mathcal {F}} _ {n}}
(T≤nu)∈Fnu{\ displaystyle (T \ leq n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}}
T{\ displaystyle T \,}
LA∩(T≤nu)∈Fnu.{\ displaystyle A \ cap (T \ leq n) \ în {\ mathcal {F}} _ {n}.}
Lemă - Fie o variabilă aleatorie -măsurabilă. is -measurable if is -measurable.
Z{\ displaystyle Z \,}
F∞{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}Z{\ displaystyle Z \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}∀nu , 1(T=nu)×Z{\ displaystyle \ forall n \, \ 1 _ {(T = n)} \ times Z}
Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}
Demonstrație
⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}
:
Z{\ displaystyle Z \,}este măsurabilă.
cuFT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}(1(T=nu)×Z)-1(X)=Z-1(X)∩(T=nu){\ displaystyle (1 _ {(T = n)} \ times Z) ^ {- 1} (x) = Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n)}
Z-1(X)∈FT.{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ in {\ mathcal {F}} _ {T}.}
Aur
FT={LA∈F∞/∀nu LA∩(T=nu)∈Fnu}.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T} = \ {A \ in {\ mathcal {F}} _ {\ infty} / \ forall n \ A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n} \}.}
Prin urmare
Z-1(X)∩(T=nu)∈Fnu.{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n) \ în {\ mathcal {F}} _ {n}.}
În cele din urmă este măsurabilă.
1(T=nu)×Z{\ displaystyle 1 _ {(T = n)} \ times Z \,}
Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}
⇐{\ displaystyle \ Leftarrow}
:
(1(T=nu)∗Z)-1(X)=Z-1(X)∩(T=nu)∈Fnu{\ displaystyle (1 _ {(T = n)} * Z) ^ {- 1} (x) = Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n) \ în {\ mathcal {F}} _ {nu}}
cu mai multe . Prin urmare (conform definiției lui ). Deci este măsurabil.
Z-1(X)∈F∞{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ in {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}
Z-1(X)∈FT{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ in {\ mathcal {F}} _ {T}}
FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}Z{\ displaystyle Z \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}
Propunerea - este -măsurabilă.
XT{\ displaystyle X_ {T} \,}
FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}
Demonstrație
XT=∑nu1(T=nu)XT+1(T=∞)X∞=∑nu1(T=nu)Xnu+1(T=∞)X∞{\ displaystyle {\ begin {align} X_ {T} & = \ sum _ {n} 1 _ {(T = n)} X_ {T} +1 _ {(T = \ infty)} X _ {\ infty } \\ & = \ sum _ {n} 1 _ {(T = n)} X_ {n} +1 _ {(T = \ infty)} X _ {\ infty} \ end {align}}}
cu cine sunt -măsurabile, deci este -măsurabile. Conform lemei anterioare, este -măsurabilă.
1(T=nu) et Xnu{\ displaystyle 1 _ {(T = n)} \ și \ X_ {n}}
Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}XT×1(T=nu){\ displaystyle X_ {T} \ times 1 _ {(T = n)} \,}
Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}XT{\ displaystyle X_ {T} \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}
Exemple și contraexemple
Luați în considerare o secvență de variabile aleatoare, cu valori într - un set și notați tribul generat thereafter.The variabile aleatoare de mai jos sunt ori pentru filtrare de oprire :
X=(Xk)k≥0 {\ displaystyle \ scriptstyle \ X = (X_ {k}) _ {k \ geq 0} \}
E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \}
Fnu {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} (Xk)0≤k≤nu. {\ displaystyle \ scriptstyle \ (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}. \}
(Fnu)nu≥0{\ displaystyle \ scriptstyle \ ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}
- Să fie un element al ; noi numim timpul primei întoarcere în și vom nota variabila aleatoare definită mai jos: j {\ displaystyle \ scriptstyle \ j \}
E {\ displaystyle \ scriptstyle \ E \} j, {\ displaystyle \ scriptstyle \ j, \}
Rj, {\ displaystyle \ scriptstyle \ R_ {j}, \}
Rj={inf{nu>0|Xnu=j}dacă{nu>0|Xnu=j}≠∅,+∞dacă nu.{\ displaystyle R_ {j} = \ left \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} && {\ textrm {si}} \ quad \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} \ neq \ emptyset, \\ + \ infty && {\ textrm {altfel.}} \ end {array}} \ right.}
- În același mod pentru o parte dintr - un apeluri timp primei intrări în și una note de variabila aleatoare definite mai jos: VS {\ displaystyle \ scriptstyle \ C \}
E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} VS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ C, \}
TVS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ T_ {C}, \}
TVS={inf{nu≥0|Xnu∈VS}dacă{nu≥0|Xnu∈VS}≠∅,+∞dacă nu.{\ displaystyle T_ {C} = \ left \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ in C \ right \} && { \ textrm {si}} \ quad \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ în C \ right \} \ neq \ emptyset, \\ + \ infty && {\ textrm {altfel. }} \ end {array}} \ right.}
- Instantul de -a întoarcere în notat și definit prin recurență de: k{\ displaystyle \ scriptstyle \ k}
eu, {\ displaystyle \ scriptstyle \ i, \}
Reu(k) {\ displaystyle \ scriptstyle \ R_ {i} ^ {(k)} \}
Reu(k)={inf{nu>Reu(k-1)|Xnu=eu}dacă{nu>Reu(k)|Xnu=eu}≠∅,+∞dacă nu.,{\ displaystyle R_ {i} ^ {(k)} = \ left \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n> R_ {i} ^ {(k-1)} \, \ green \, X_ {n} = i \ right \} && {\ textrm {si}} \ quad \ left \ {n> R_ {i} ^ {(k)} \, \ green \, X_ {n} = i \ right \} \ neq \ emptyset, \\ + \ infty && {\ textrm {altfel.}} \ end {array}} \ right.,}
sau din nou momentul intrării-a în are ta.
k{\ displaystyle \ scriptstyle \ k} VS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ C, \}- Pentru și în care pozăm Putem arăta că nu este un timp de oprire, ci că, pe de altă parte, este un timp de oprire. eu {\ displaystyle \ scriptstyle \ i \}
j {\ displaystyle \ scriptstyle \ j \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} T=inf{nu≥0|Xnu=eu și Xnu+1=j}. {\ displaystyle \ scriptstyle \ T = \ inf \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} = i {\ text {și}} X_ {n + 1} = j \ right \}. \}
T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} T+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ T + 1 \}
Referințe
-
(în) Michiel Hazewinkel , Enciclopedia Matematicii , Springer Science & Business Media,1 st decembrie 2013( ISBN 978-94-009-5991-0 , citit online ) , p. 100, 110.
-
(en) Geoffrey Grimmett și David Stirzaker , Probabilitate și procese aleatorii , Oxford; New York: Oxford University Press,2001( ISBN 978-0-19-857223-7 și 978-0-19-857222-0 , citit online ) , p. 263, 264, 498, 499.
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">