Tetrare
Tetration (sau exponențială alunecos , hiper , turn de putere , super-exponentiala sau hyper4 ) este un " exponentiation iterated." Este primul hiperoperator după exponențiere.
Portmanteau Cuvântul tetration a fost inventat de Reuben Goodstein bazat pe prefixul tetra- (patru) și iterație . Tetrarea este utilizată pentru scrierea unui număr mare. Urmează adunarea , multiplicarea și exponențierea așa cum se arată mai jos:
- multiplicare
la×b= la+la+⋯+la⏟b termeni{\ displaystyle {{a \ times b = \} \ atop {\}} {{\ underbrace {a + a + \ cdots + a}} \ atop b {\ text {terms}}}}
- exponențierea
lab= la×la×⋯×la⏟b factori{\ displaystyle {{a ^ {b} = \} \ atop {\}} {\ underbrace {a \ times a \ times \ cdots \ times a} \ atop b {\ text {factors}}}}
- tetrare
bla= lala⋅⋅la⏟b copii ale la{\ displaystyle {\ ^ {b} a = \ \ atop {\}} {\ underbrace {a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}} \ atop b {\ text {copii de la catre}}
Cu fiecare dată b apariția literei A . Înmulțirea ( a × b ) poate fi văzută ca ( b-1 ) iterații ale operației "adăugați o ", exponențierea ( a b ) ca ( b-1 ) iterații ale operației "înmulțiți cu o " astfel încât b apariții ale litera a . În mod similar, tetrarea ( b a) poate fi considerată ca ( b-1 ) iterații ale operației "ridică la puterea a ".
Rețineți că atunci când evaluați o exponențiere pe mai multe niveluri, exponențierea se realizează mai întâi la nivelul „cel mai adânc” (în notație, la cel mai înalt nivel), adică de la dreapta. Spre stânga. Cu alte cuvinte:
42=2222=2(2(22))=2(24)=216=65536{\ displaystyle \ ^ {4} 2 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}} = 2 ^ {\ left (2 ^ {\ left (2 ^ {2} \ right)} \ right)} = 2 ^ {\ left (2 ^ {4} \ right)} = 2 ^ {16} = 65 \, 536}
2222{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2}}}} n ' nu este egal cu .
((22)2)2=22×2×2=256{\ displaystyle \! \ left ({\ left (2 ^ {2} \ right)} ^ {2} \ right) ^ {2} = 2 ^ {2 \ times 2 \ times 2} = 256}
Aceasta este regula generală pentru ordinea operațiilor care implică exponențierea repetată.
Notări
Pentru a generaliza primul caz de mai sus (calcularea puterilor de la dreapta la stânga) a valorilor tetrării la valori care nu sunt întregi, este necesară o nouă notație. Al doilea caz (calcul de la stânga la dreapta) poate fi, de asemenea, scris:, deci scrierea formei sale generale folosește întotdeauna o notație obișnuită de exponențiere.
((22)2)2=22×2×2=223{\ displaystyle \ left (\ left (2 ^ {2} \ right) ^ {2} \ right) ^ {2} = 2 ^ {2 \ times 2 \ times 2} = 2 ^ {2 ^ {3}} }
Notări în care se poate nota o tetrare (printre cele care permit niveluri chiar mai ridicate de iterații) includ:
- notația standard: b a, folosită pentru prima dată de Hans Maurer; această notație a fost popularizată de cartea lui Rudy Rucker , Infinity and the Mind .
- notația reiterată puteri Knuth : - poate fi extins prin utilizarea mai multor săgeți (sau Echivalent, o săgeată indexate).la↑↑b{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b}
- Conway înlănțuit săgeată notație : - poate fi extinsă prin creșterea numărului 2 (echivalent cu extensiile de mai sus), dar , de asemenea, mai eficient prin extinderea lanțului.la→b→2{\ displaystyle a \ rightarrow b \ rightarrow 2}
- notația hiper4: - poate fi extinsă prin creșterea numărului 4; acest lucru oferă familiei de hiperoperatori .la(4)b=hiper4(la,b)=hiper(la,4,b){\ displaystyle a ^ {(4)} b = \ operatorname {hyper4} (a, b) = \ operatorname {hyper} (a, 4, b)}
Cazul special a = 2 poate fi scris cu funcția lui Ackermann :
2↑↑b=LA(4,b-3)+3{\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow b = \ operatorname {A} (4, b-3) +3},
adică .
LA(4,nu)=2↑↑(nu+3)-3{\ displaystyle \ operatorname {A} (4, n) = 2 \ uparrow \ uparrow (n + 3) -3}
Săgeata în sus este utilizată identic cu semnul de omisiune, astfel încât operatorul de tetrare poate fi scris ca ^^ în ASCII : a ^^ b.
Definiție formală
Pentru un număr real a > 0 și un număr natural n , definim prin inducție:
nula=la↑↑nu{\ displaystyle ^ {n} a = a \ uparrow \ uparrow n}
0la=la↑↑0=1{\ displaystyle ^ {0} a = a \ uparrow \ uparrow 0 = 1} ;
nu+1la=la↑↑(nu+1)=lala↑↑nu{\ displaystyle ^ {n + 1} a = a \ uparrow \ uparrow (n + 1) = a ^ {a \ uparrow \ uparrow n}}.
Exemple
(Exemplele scrise cu virgulă sunt aproximate)
n = n ↑↑ 1 |
n ↑↑ 2 |
n ↑↑ 3 |
n ↑↑ 4
|
---|
1 |
1 |
1 |
1
|
2 |
4 |
16 |
65.536
|
3 |
27 |
7,63 × 10 12 |
103,64×1012{\ displaystyle 10 ^ {3 {,} 64 \ times 10 ^ {12}}}
|
4 |
256 |
1,34 × 10 154 |
108,07×10153{\ displaystyle 10 ^ {8 {,} 07 \ times 10 ^ {153}}}
|
5 |
3 125 |
1,91 × 10 2 184 |
101,34×102184{\ displaystyle 10 ^ {1 {,} 34 \ times 10 ^ {2 \, 184}}}
|
6 |
46.656 |
2,70 × 10 36 305 |
102,07×1036305{\ displaystyle 10 ^ {2 {,} 07 \ times 10 ^ {36 \, 305}}}
|
7 |
823.543 |
3,76 × 10.695.974 |
103,18×10695974{\ displaystyle 10 ^ {3 {,} 18 \ times 10 ^ {695 \, 974}}}
|
8 |
16 777 216 |
6,01 × 10 15 151 335 |
105,43×1015151335{\ displaystyle 10 ^ {5 {,} 43 \ times 10 ^ {15 \, 151 \, 335}}}
|
9 |
387 420 489 |
4,28 × 10.369.693.099 |
104,09×10369693009{\ displaystyle 10 ^ {4 {,} 09 \ times 10 ^ {369 \, 693 \, 009}}}
|
10 |
10.000.000.000 |
10 10.000.000.000 |
10101010{\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10}}}}
|
Extensie la valoarea - 1 a celui de-al doilea operand
Folosind relația (dedusă din definiția tetrării), putem defini valorile pentru for .
nu↑↑k=Buturuganu(nu↑↑(k+1)){\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow k = \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow (k + 1) \ right)}nu↑↑k{\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow k}k∈{-1,0,1}{\ displaystyle k \ in \ {- 1,0,1 \}}
nu↑↑1=Buturuganu(nu↑↑2)=Buturuganu(nunu)=nuButuruganunu=nunu↑↑0=Buturuganu(nu↑↑1)=Buturuganunu=1nu↑↑-1=Buturuganu(nu↑↑0)=Buturuganu1=0{\ displaystyle {\ begin {matrix} n \ uparrow \ uparrow 1 & = & \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow 2 \ right) & = & \ log _ {n} \ left (n ^ {n} \ right) & = & n \ log _ {n} n & = & n \\ n \ uparrow \ uparrow 0 & = & \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow 1 \ right) & = & \ log _ {n} n &&& = & 1 \\ n \ uparrow \ uparrow -1 & = & \ log _ {n} \ left (n \ uparrow \ uparrow 0 \ right) & = & \ log _ {n} 1 &&& = & 0 \ end {matrix}}}
Aceasta confirmă definiția intuitivă a ca fiind pur și simplu n . Cu toate acestea, nu mai putem defini mai multe valori prin iterație suplimentară în acest mod, deoarece nu este definit.
nu↑↑1{\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow 1}nu↑↑-2=Buturuganu(nu↑↑-1)=Buturuganu0{\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow -2 = \ log _ {n} (n \ uparrow \ uparrow -1) = \ log _ {n} 0}
Extensie la valoarea 0 a bazei
1↑↑nu{\ displaystyle 1 \ uparrow \ uparrow n}poate fi definit fără probleme ca fiind egal cu 1. Deoarece este nedefinit ( ), definiția dată mai sus nu poate fi utilizată când n = 1 și trebuie să rămână o cantitate nedefinită.
Buturuga1X{\ displaystyle \ log _ {1} x}Buturuga1X=ButurugaXButuruga1{\ displaystyle \ log _ {1} x = {\ begin {matrix} {\ frac {\ log x} {\ log 1}} \ end {matrix}}}nu↑↑-1=Buturuganu(nu↑↑0){\ displaystyle n \ uparrow \ uparrow {-1} = \ log _ {n} (n \ uparrow \ uparrow 0)}1↑↑-1{\ displaystyle 1 \ uparrow \ uparrow {-1}}
Uneori 0 0 este considerat o cantitate nedeterminată. În acest caz, valorile pentru pot fi definite de limita care există și este egală cu:
0↑↑k{\ displaystyle 0 \ uparrow \ uparrow k}limX→0X↑↑k{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} x \ uparrow \ uparrow k}
limX→0X↑↑k={1 pentru k coleg0 pentru k ciudat{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} x \ uparrow \ uparrow k = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {for}} k {\ mbox {pair}} \\ 0 & {\ mbox { pentru}} k {\ mbox {odd}} \ end {cases}}}0↑↑k{\ displaystyle 0 \ uparrow \ uparrow k}poate fi definit în termenii acestei limite și este în concordanță cu definiția .
00=1{\ displaystyle 0 ^ {0} = 1}
Extinderea tetrării la valorile reale pozitive ale bazei
Extinderea la numere reale este relativ simplă și oferă, pentru fiecare număr întreg natural n , o funcție de super-putere (prefixul super este uneori înlocuit cu hyper : funcție hyper-power ).
X↑↑b{\ displaystyle x \ uparrow \ uparrow b}X>0{\ displaystyle x> 0} fnu(X)=X↑↑nu{\ displaystyle \ operatorname {f} _ {n} (x) = x \ uparrow \ uparrow n}
Așa cum s-a indicat anterior, pentru numerele întregi pozitive n , funcția tinde spre 1 pentru x tendind spre 0 dacă n este par, și spre 0 dacă n este impar, în timp ce pentru și , funcția este constantă, cu valoarea 1 și respectiv 0.
nu=0{\ displaystyle n = 0}nu=-1{\ displaystyle n = -1}
Extinderea tetrării la baze complexe
Deoarece un număr complex poate fi ridicat la o putere complexă utilizând ramura majoră a logaritmului complex , tetrarea poate fi aplicată numerelor de formă , unde
i este unitatea imaginară .
la+beu{\ displaystyle a + b \, \ mathrm {i}}
Deci, să calculăm, de exemplu, în care . Exponențierea se realizează folosind ramura principală a logaritmului complex și avem relația:
z↑↑k{\ displaystyle z \ uparrow \ uparrow k}z=eu{\ displaystyle z = \ mathrm {i}}
eula+beu=eeuπ2(la+beu)=e-bπ2(coslaπ2+eupăcatlaπ2){\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {a + b \ mathrm {i}} = \ mathrm {e} ^ {{\ mathrm {i} \ pi \ over 2} (a + b \ mathrm {i})} = \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ over 2}} \ left (\ cos {a \ pi \ over 2} + \ mathrm {i} \ sin {a \ pi \ over 2} \ right) }Ceea ce sugerează o definiție prin inducție pentru când :
eu↑↑(k+1)=la′+b′eu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow (k + 1) = a '+ b' \, \ mathrm {i}}eu↑↑k=la+beu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow k = a + b \, \ mathrm {i}}
la′=e-bπ2coslaπ2{\ displaystyle a '= \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ over 2}} \ cos {a \ pi \ over 2}}
b′=e-bπ2păcatlaπ2{\ displaystyle b '= \ mathrm {e} ^ {- {b \ pi \ over 2}} \ sin {a \ pi \ over 2}}
Deducem următoarele valori aproximative ( este exponențierea ). :
eu↑z{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow z}euz{\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {z}}
- eu↑↑1=eu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 1 = \ mathrm {i}}
- eu↑↑2=eu↑(eu↑↑1)≈0,2079{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 2 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 1 \ right) \ approx 0 {,} 2079}
- eu↑↑3=eu↑(eu↑↑2)≈0,9472+0,3208eu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 3 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 2 \ right) \ approx 0 {,} 9472 + 0 {,} 3208 \, \ mathrm {i}}
- eu↑↑4=eu↑(eu↑↑3)≈0,0501+0,6021eu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 4 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 3 \ right) \ approx 0 {,} 0501 + 0 {,} 6021 \, \ mathrm {i}}
- eu↑↑5=eu↑(eu↑↑4)≈0,3872+0,0305eu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 5 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 4 \ right) \ approx 0 {,} 3872 + 0 {,} 0305 \, \ mathrm {i}}
- eu↑↑6=eu↑(eu↑↑5)≈0,7823+0,5446eu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 6 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 5 \ right) \ approx 0 {,} 7823 + 0 {,} 5446 \, \ mathrm {i}}
- eu↑↑7=eu↑(eu↑↑6)≈0,1426+0,4005eu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 7 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 6 \ right) \ approx 0 {,} 1426 + 0 {,} 4005 \, \ mathrm {i}}
- eu↑↑8=eu↑(eu↑↑7)≈0,5198+0,1184eu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 8 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 7 \ right) \ approx 0 {,} 5198 + 0 {,} 1184 \, \ mathrm {i}}
- eu↑↑9=eu↑(eu↑↑8)≈0,5686+0,6051eu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 9 = \ mathrm {i} \ uparrow \ left (i \ uparrow \ uparrow 8 \ right) \ approx 0 {,} 5686 + 0 {,} 6051 \, \ mathrm {i}}
Rezoluția relației duce la relațiile așteptate și .
eu↑↑(k+1)=eu↑(eu↑↑k){\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow (k + 1) = \ mathrm {i} \ uparrow (\ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow k)}eu↑↑0=1{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow 0 = 1}eu↑↑-1=0{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow -1 = 0}
În planul complex , secvența converge într-o spirală ( vezi mai jos ). Astfel de secvențe de tetrare au fost studiate încă de pe vremea lui Euler, dar sunt puțin înțelese datorită comportamentului lor haotic. Cele mai publicate cercetări s-au concentrat istoric pe convergența funcției turnului de putere. Cercetările actuale au beneficiat în mare măsură de avansarea stațiilor de calcul puternice cu suporturi software în matematică simbolică și fractală. Cea mai mare parte din ceea ce se știe despre tetrare provine din cunoașterea generală a dinamicii complexe și a cercetărilor specifice asupra straturilor exponențiale.
eu↑↑nu{\ displaystyle \ mathrm {i} \ uparrow \ uparrow n}
Extinderea tetrării la valori reale> - 2 ale celui de-al doilea operand
Până în prezent, nu există o soluție acceptată în mod obișnuit pentru problema generală a extinderii tetrării la numere reale și complexe, deși acesta este un domeniu activ de cercetare.
Luați în considerare problema găsirii unei funcții super-exponențiale sau a unei funcții hiper-exponențiale
f(X)=la↑↑X{\ displaystyle \ operatorname {f} (x) = a \ uparrow \ uparrow x}
care este o extensie la real a ceea ce este definit anterior și care satisface:
X>-2{\ displaystyle x> -2}
-
la↑↑(X+1)=la(la↑↑X){\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow (x + 1) = a ^ {\ left (a \ uparrow \ uparrow x \ right)}} ;
-
f crește (pentru );la>1{\ displaystyle a> 1}
-
f este continuu.
Când este definit pe un interval de lungime a unității, putem defini funcția ca un întreg pentru orice , prin inducție.
X↦la↑↑X{\ displaystyle x \ mapsto a \ uparrow \ uparrow x}X>-2{\ displaystyle x> -2}
O soluție simplă este dată de interpolația afină între - 1 și 0:
la↑↑X=X+1{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow x = x + 1}pentru ,
-1⩽X⩽0{\ displaystyle -1 \ leqslant x \ leqslant 0}Prin urmare:
la↑↑X=Buturugala(X+1){\ displaystyle \, \! a \ uparrow \ uparrow x = \ log _ {a} {(x + 1)}} pentru
-2<X⩽-1{\ displaystyle -2 <x \ leqslant -1}
la↑↑X=laX{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow x = a ^ {x}}pentru ,
0⩽X⩽1{\ displaystyle 0 \ leqslant x \ leqslant 1}
la↑↑X=lala(X-1){\ displaystyle \, \! a \ uparrow \ uparrow x = a ^ {a ^ {(x-1)}}} pentru
1<X<2{\ displaystyle 1 <x <2}
la↑↑X=lala↑↑(X-1){\ displaystyle \, \! a \ uparrow \ uparrow x = a ^ {a \ uparrow \ uparrow {(x-1)}}}pentru , etc.
X>2{\ displaystyle x> 2}
Cu toate acestea, dacă a ≠ e, funcția astfel definită este diferențiată doar în bucăți : la valori întregi ale lui x, derivata se înmulțește cu două intervale:
lnla{\ displaystyle \ ln a}
10↑↑0,99=9,77{\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 0 {,} 99 = 9 {,} 77},
10↑↑1=10{\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 1 = 10},
10↑↑1,01=10,55{\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 1 {,} 01 = 10 {,} 55}.
Alte funcții mai complicate pot fi mai regulate sau pot satisface proprietăți suplimentare (funcție analitică sau funcție care poate fi extinsă într-o funcție holomorfă etc. ).
O funcție super-exponențială crește mai repede decât o funcție exponențială dublă .
De exemplu, dacă a = 10 :
- f(-1)=0{\ displaystyle \ operatorname {f} (-1) = 0}
- f(0)=1{\ displaystyle \ operatorname {f} (0) = 1}
- f(0,3)≈2{\ displaystyle \ operatorname {f} (0 {,} 3) \ approx 2}
- f(1)=10{\ displaystyle \ operatorname {f} (1) = 10}
- f(1,3)≈102{\ displaystyle \ operatorname {f} (1 {,} 3) \ approx 10 ^ {2}}
- f(2)=1010{\ displaystyle \ operatorname {f} (2) = 10 ^ {10}}
-
f(2,3)≈10100{\ displaystyle \ operatorname {f} (2 {,} 3) \ aproximativ 10 ^ {100}}( googol )
- f(3)=101010{\ displaystyle \ operatorname {f} (3) = 10 ^ {10 ^ {10}}}
-
f(3,3)≈1010100{\ displaystyle \ operatorname {f} (3 {,} 3) \ approx 10 ^ {10 ^ {100}}}( googolplex )
Când se definește pentru toate a, o altă cerință poate fi creșterea odată cu a.
la↑↑X{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow x}la↑↑X{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow x}
Operații inverse ale tetrării: super-logaritmi
Funcțiile reciproce ale tetrării în raport cu baza sau în raport cu al doilea operand se numesc respectiv super-rădăcini sau hiper-rădăcini și super-logaritm sau hiper-logaritm .
Bijectie inversă a funcției de super-exponențială este definită, în cazul în care un > 1, pentru toate numerele reale, inclusiv numere negative.
f(X)=la↑↑X{\ displaystyle \ operatorname {f} (x) = a \ uparrow \ uparrow x}
Funcția super-logaritm verifică:
slogla{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a}}
slogla(la↑↑X)=slogla(Xla)=X{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} (a \ uparrow \ uparrow x) = \ mathrm {slog} _ {a} (^ {x} a) = x}
la↑↑(sloglaX)=sloglaXla=X{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow (\ mathrm {slog} _ {a} x) = ^ {\ mathrm {slog} _ {a} x} a = x}
slogla1=0{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} 1 = 0}
sloglala=1{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} a = 1}
slogla0=-1{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} 0 = -1}
sloglalaX=1+sloglaX{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x} = 1 + \ mathrm {slog} _ {a} x}
sloglaX=-1+sloglalaX{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x}}
sloglaX=1+sloglaButurugalaX{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = 1 + \ mathrm {slog} _ {a} \ log _ {a} x \,}dacă x > 0
sloglaX>-2{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x> -2}
În paragraful anterior am definit:
la↑↑X=X+1{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow x = x + 1}pentru ,
-1<X<0{\ displaystyle -1 <x <0}
la↑↑X=laX{\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow x = a ^ {x}}pentru ,
0<X<1{\ displaystyle 0 <x <1}
Prin urmare (cu un > 1)
sloglaX=ButurugalaX,{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = \ log _ {a} x, \,}if (interpolăm printr-o funcție logaritmică între 1 și a ):
1<X⩽la{\ displaystyle \, 1 <x \ leqslant a}
sloglaX=-1+X,{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + x, \,}if (interpolăm printr-o funcție afină între 0 și 1):
0<X⩽1{\ displaystyle \, 0 <x \ leqslant 1}
sloglaX=-1+sloglalaX=-2+laX,{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {a} x = -1 + \ mathrm {slog} _ {a} a ^ {x} = - 2 + a ^ {x}, \,}da .
X⩽0{\ displaystyle x \ leqslant 0}
Exemple:
-
slog103=Buturuga103≈0,477{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} 3 = \ log _ {10} 3 \ approx 0 {,} 477} ;
-
slog1010-3=-1+10-3=-0,999{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} 10 ^ {- 3} = - 1 + 10 ^ {- 3} = - 0 {,} 999} ;
-
slog10(-3)=-1+slog1010-3=-1+(-0,999)=-1.999{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} (- 3) = - 1+ \ mathrm {slog} _ {10} 10 ^ {- 3} = - 1 + (- 0 {,} 999) = - 1 {,} 999} ;
-
slog10106×1023=1+slog10(6×1023)≈2+slog1023.778≈3+slog101,376=3+Buturuga101,376≈3.139{\ displaystyle \ mathrm {slog} _ {10} 10 ^ {6 \ times 10 ^ {23}} = 1+ \ mathrm {slog} _ {10} (6 \ times 10 ^ {23}) \ approx 2+ \ mathrm {slog} _ {10} 23 {,} 778 \ approx 3+ \ mathrm {slog} _ {10} 1 {,} 376 = 3 + \ log _ {10} 1 {,} 376 \ approx 3 { ,} 139}.
Turnuri de puteri infinit de mari
Secvența converge la 2 . Tendința către 2 poate fi văzută prin evaluarea unui mic turn terminat:
2↑↑nu=2222...{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ uparrow \ uparrow n = {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {\ ;. ^ {\ ;. ^ {\;.}}}}}}}}
222221,41≈22221,63≈2221,76≈221,84≈21,89≈1,93{\ displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 { ,} 41}}}}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 63}}}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 76}}} \ approx {\ sqrt {2} } ^ {{\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 84}} \ approx {\ sqrt {2}} ^ {1 {,} 89} \ approx 1 {,} 93}.
În general, turnul puterilor converge dacă și numai dacă .
(nuX){\ displaystyle \ left (^ {n} x \ right)}e-e≤X≤e1/e{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {e}} \ leq x \ leq \ mathrm {e} ^ {1 / \ mathrm {e}}}
Pentru orice r real cu , dacă , atunci limita lui este r .
e-1≤r≤e{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- 1} \ leq r \ leq \ mathrm {e}}X=r1/r{\ displaystyle x = r ^ {1 / r}}∞X=XXX..{\ displaystyle ^ {\ infty} x = x ^ {x ^ {x ^ {..}}}}(nuX){\ displaystyle \ left (^ {n} x \ right)}
Funcția poate fi extinsă la numere complexe z cu definiția:
X↦r=∞X{\ displaystyle x \ mapsto r = {^ {\ infty} x}}
∞z=-W0(-Buturugaz)Buturugaz{\ displaystyle ^ {\ infty} z = - {\ frac {\ mathrm {W} _ {0} (- \ operatorname {Log} z)} {\ operatorname {Log} z}}}pentru
z ≠ 1 ,
care este ramura principală a funcției Lambert W și Log este cea a logaritmului complex .
W0{\ displaystyle \ mathrm {W} _ {0}}
De exemplu :
∞eu=2euπW0(-πeu2){\ displaystyle ^ {\ infty} \ mathrm {i} = {\ frac {2 \ mathrm {i}} {\ pi}} \; W_ {0} \ left (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i }} {2}} \ right)} ≈ 0.4383 0.3606 + i (suitele
A077589 și
A077590 ale
OEIS ) ale
modulului ≈ 0,567 555 (
A212479 ).
2π|W0(-πeu2)|{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} \ left | W_ {0} \ left (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i}} {2}} \ right) \ right |}
Note și referințe
(
fr ) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia în
limba engleză intitulat
„ Tetration ” ( vezi lista autorilor ) .
-
(De) Hans Maurer, „ Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)y=X[X[X(⋯)]]{\ displaystyle y = x ^ {[x ^ {[x (\ cdots)]}]}} ” , Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg , vol. 4,1901, p. 33-50, după Knoebel 1981 .
-
E489: (la) Leonhard Euler, „ De formulis exponentialibus replicatis ” , Acta Acad. Știință. Imp. Petrop. , vol. 1,1778, p. 38-60 ( citește online ).
-
A se vedea E489 și referințele sale ( IN Baker și PJ Rippon 1984 și 1985, Knoebel 1981 , Rippon 1983).
-
Demonstrație: Jean-Baptiste Campesato, „ Despre problema tetrării infinite sau turnul de putere infinit ” , pe http://citron.9grid.fr ,2010.
-
(în) Ulrich H. Kurzweg, " Proprietăți ale funcției Lambert W (z) " de la Universitatea din Florida , Departamentul de Inginerie Mecanică și Aerospace .
Vezi și tu
Articol asociat
Funcția Ackermann
Bibliografie
- (ro) Reuben Louis Goodstein , „ Transfinite ordinals in recursive number theory ” , Journal of Symbolic Logic , vol. 12,1947
- (ro) R. Arthur Knoebel , „ Exponentials reiterated ” , American Mathematical Monthly , vol. 88,nouăsprezece optzeci și unu, p. 235-252 ( citiți online )
- ( fr ) Jonathan Sondow și Diego Marques, „ Soluții algebrice și transcendentale ale unor ecuații exponențiale ” , Annales Mathematicae et Informaticae , vol. 37,2010, p. 151-164 ( citește online )
linkuri externe
- (ro) I. Galidakis și E. Weisstein, „ PowerTower ” , pe MathWorld
-
(ro) IN Galidakis, „A Continuous Extension For the Hyper4 Operator” (versiunea din 20 mai 2009 pe Internet Archive ) , la ioannis.virtualcomposer2000.com (nedatată, 2006 sau mai devreme; expunere mai simplă și mai ușoară de citit după cum urmează) referinţă)
-
(ro) IN Galidakis, „On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals” (versiunea din 25 mai 2006 pe Internet Archive ) , pe ioannis.virtualcomposer2000.com
-
(ro) IN Galidakis, „Mathematics” (versiunea din 20 aprilie 2009 pe Internet Archive ) , pe ioannis.virtualcomposer2000.com (listă de referințe la cercetarea tetrării. Numeroase informații despre funcția W a lui Lambert, suprafețele lui Riemann și continuarea analitică )
-
( fr ) Daniel Geisler, tetration.org
- (în) Albert Gural, „ Infinite Power Towers ” , pe albertgural.com
- (ro) Joseph MacDonell, „ Some Critical Points of the Hyperpower Function y = xxx. . » , Pe facultatea.fairfield.edu/jmac
- (ro) Robert Munafo, „ Extensia mea a funcției hyper4 la argumente cu valoare reală ” , pe mrob.com
-
(ro) Andrew Robbins, „Rezolvarea pentru extinderea analitică în bucăți a tetrării și a super-logaritmului” (versiunea 1 februarie 2009 pe arhiva Internet ) , la tetration.itgo.com
-
(ro) Lode Vandevenne , „ Tetrarea rădăcinii pătrate a celor doi ” , pe groups.google.com/forum/#!topic/sci.math/ ,2004 (test de extindere a tetrării la numere reale)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">