Superaditivitate

În matematică , se spune că o secvență este superadditivă dacă, pentru toți m și n , satisface inegalitatea

{\ displaystyle a_ {n + m} \ geq a_ {n} + a_ {m}}

Principalul avantaj al suitelor superadditive este că respectă lema lui Michael Fekete .

Lema lui Fekete - Pentru orice secvență superadditivă { a n }, n ≥ 1, limita unui n / n există și este egală cu limita superioară a unui n / n . (Rețineți că această limită poate fi infinită, de exemplu, pentru secvența a n = log n !.)

La fel, se spune că o funcție f este superadditivă dacă avem

{\ displaystyle f (x + y) \ geq f (x) + f (y)}

pentru toți x și y în domeniul de f .

De exemplu, este o funcție superadditivă pentru numerele reale pozitive: pătratul lui $($ $x + y$ $)$ este întotdeauna mai mare sau egal cu pătratul lui $x$ plus pătratul lui $y$ . $f (x) = x ^ 2$

Există o lemă similară cu cea a lui Fekete pentru funcții. Există, de asemenea, extensii ale acestuia din urmă în cazuri mai puțin puternice, de exemplu dacă proprietatea superaditivității nu este verificată pe întregul domeniu al funcției. Alte rezultate ne permit să deducem viteza de convergență a acestei limite dacă avem ambele forme de super- și subaditivitate. O prezentare bună a acestui subiect poate fi găsită în Steele (1997).

Dacă f este o funcție super aditivă și dacă 0 este în domeniul său, atunci f (0) ≤ 0. Avem într-adevăr

{\ displaystyle \ forall x, \ f (x) = f (x + 0) \ geq f (0) + f (x).}

Inversul superaditivității unei funcții este subaditivitatea .

Exemple de funcții super-aditive

Determinantul este supraadăugată pentru matrici Hermitian non-negativ, adică, în cazul în care sunt matrice Hermitian pozitive, avem: . ${\ displaystyle A, B \ în M_ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ det (A + B) \ geq \ det (A) + \ det (B)}$

Este o consecință a teoremei determinantului lui Minkowski, într-adevăr arată într-un mod general că este super-aditiv (adică concav) pentru matricile hermitiene de dimensiunea n pe care le avem ${\ displaystyle A \ mapsto \ det (A) ^ {1 / n}}$

{\ displaystyle \ det (A + B) ^ {1 / n} \ geq \ det (A) ^ {1 / n} + \ det (B) ^ {1 / n}}

pentru matrici non-negative.

Horst Alzer a demonstrat că funcția gamma Hadamard este superadditivă pentru toate numerele reale x , y cu x , y ≥ 1,5031.

Referințe

M. Fekete , „ Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten ”, Mathematische Zeitschrift , vol. 17, n o 1,1923, p. 228–249 ( DOI 10.1007 / BF01504345 )
(în) Michael J. Steele, Teoria probabilităților și optimizarea combinatorie , Philadelphia, SIAM, Philadelphia,1997, 159 p. ( ISBN 0-89871-380-3 )
Cursuri CBMS despre teoria probabilităților și optimizarea combinatorie (2011) Universitatea Cambridge.
(în) Marcus și H. Minc, "Teorema 4.1.8" , în O sondaj în teoria matricii și inegalitățile matricei , vol. 14, Courier Corporation, col. „Dover”,1992( prezentare online ) , p. 115.
Horst Alzer, O proprietate superadditivă a funcției gamma a lui Hadamard , Springer,2009( DOI 10.1007 / s12188-008-0009-5 )