Secvență definită prin recurență

În matematică , o secvență definită prin recurență este o secvență definită de primul sau termenii săi și de o relație de recurență , care definește fiecare termen din cel precedent sau din cel precedent atunci când există.

O relație de recurență este o ecuație în care apare expresia mai multor termeni ai secvenței, de exemplu:

u _ {{n + 2}} - {\ sqrt {2u _ {{n + 3}} + u_ {n}}} = 0

u _ {{n ^ {2}}} = u_ {n}

(u _ {{n + 2}}) ^ {2} -u_ {n} -u _ {{n + 1}} = 0

sau dacă ne plasăm în secvențele de cuvinte de pe alfabet : $\ {a, b \}$

\ alpha _ {{n + 1}} = a \ alpha _ {n} bb

Dacă relația de recurență are o prezentare „bună”, aceasta permite calcularea expresiei termenului cu cel mai mare indice în funcție de expresia celorlalți. De exemplu, în ultima ecuație, dacă admitem că sunt reale pozitive, putem scrie: $A}$

u _ {{n + 2}} = {\ sqrt {u _ {{n + 1}} + u_ {n}}}.

O relație de recurență și datele unor termeni inițiali „suficienți” fac adesea posibilă determinarea expresiei tuturor termenilor unei secvențe (a se vedea definiția prin recurență ).

O relație de recurență foarte simplă este cea care leagă termenul indicelui n + 1 de termenul indicelui n .

Exemplu - Definim puterile unei variabile prin relația de recurență:

z ^ {n}

z

z ^ {{n + 1}} = z \; \ times z ^ {{n}}

și inițializare .

z ^ {0} = 1

Exemplu - Secvența Fibonacci este definită de datele și și de relația de recurență ; această relație de recurență se numește „liniară”.

u_ {0} = 1

u_ {1} = 1

u _ {{n + 2}} = u_ {n} + u _ {{n + 1}}

Vezi și tu

Secvență liniară recurentă