O secvență Tribonacci este o secvență a cărei relație de recurență este inspirată de cea a secvenței Fibonacci : fiecare termen este suma celor trei termeni care o preced. Într-o succesiune Fibonacci, fiecare termen este suma celor doi termeni care îl preced.
Termenul Tribonacci este un neologism format din tri (recurență în trei termeni) și bonacci (care face aluzie la matematicianul Fibonacci ). Există în mod similar secvențe Tetranacci în care fiecare termen este suma celor 4 termeni care îl preced și chiar secvențe k-bonacci în care fiecare termen este suma k termenii care îl preced.
Un număr tribonaccic este un întreg al secvenței Tribonacci.
O secvență Tribonacci este, de asemenea, o succesiune de „cuvinte” de 3 litere construite folosind substituția Tribonacci : a dă ab, b dă ac și c dă o
Secvența Tribonacci este definită de
Calculul primilor termeni se face cu ușurință: 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, ... (continuare A000073 din OEIS )
Studiul secvențelor recurente liniare vă permite să spun că această secvență este o combinație liniară a celor trei apartamente , , în cazul în care sunt cele trei rădăcini ale polinomului:
Termenul general al secvenței este apoi:
unde sunt date de următoarele formule:De asemenea, putem lucra la funcția generatoare a acestei secvențe, adică seria formală :
Funcția generatoare a secvenței este apoi XF , cea a este și cea a este , relația de recurență, valabilă pentru orice n mai mare sau egal cu 3, asigură că
Termenii suplimentari corespund primilor 3 termeni ai secvențelor. Atunci este suficient să rezolvi această ecuație. Funcția generatoare a secvenței este deci:
Hoggat în 1980 a dovedit că există o partiție a lui N în două mulțimi ne-goale A și B astfel încât niciun element din secvența Tribonacci nu este suma unui element A și a unui element B
Este secvența de cuvinte definită de:
M (1) = ași prin următoarea înlocuire Tribonacci:
a dă ab, b dă ac și c dă aApoi obținem următoarea succesiune de cuvinte: a, ab, ab | ac, abac | ab | a, abacaba | abac | ab, abacabaabacab | abacaba | abac ... Putem vedea că fiecare cuvânt este obținut ca concatenare a 3 cuvinte anterioare. Prin urmare, nu este surprinzător faptul că lungimea acestor cuvinte este o serie de numere întregi Tribonacci. Cuvântul infinit obținut la limita este cuvântul infinit de Tribonacci . Este un cuvânt pur morfic .
Secvența de cuvinte este utilizată în construcția fractalei Rauzy .
Am demonstrat că T n + 1 este numărul de moduri de a tăia un segment de lungime n în segmente mai mici a căror lungime poate varia între 1, 2 sau 3.
Mai general, termenul indicelui n + 1 al unei secvențe k-bonacci corespunde numărului de moduri de împărțire a unui segment de lungime n în segmente mai mici a căror lungime poate varia între 1, 2, 3, ..., k centimetri.