Suită Padovan

Secvența Padovan este secvența de numere întregi ( P n ) definite prin inducție prin:

P0=P1=P2=1 și ∀nu∈NUPnu+3=Pnu+1+Pnu.{\ displaystyle P_ {0} = P_ {1} = P_ {2} = 1 {\ text {et}} \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad P_ {n + 3} = P_ {n + 1 } + P_ {n}.}

Este o secvență liniară recurentă care în forma sa seamănă cu secvența Fibonacci , cu o singură nuanță: suma termenilor de rang n și n + 1 nu dă termenul de rang n + 2, ci cel de rang n + 3.

Suita poartă numele arhitectului Richard Padovan  (ro) și este asociată cu numărul plastic studiat de arhitect și apoi de călugărul Hans van der Laan . Matematicianul Ian Stewart , în Recreațiile sale matematice , evocă și studiază această secvență și îi dă numele de secvență padovană.

Termenul general al secvenței Padovan este legat de cele trei rădăcini ale polinomului X 3 - X - 1.

Cocientul a doi termeni consecutivi tinde spre numărul plastic .

Termeni și proprietăți

Seria generatorului este:

F(X)=1+X1-X2-X3.{\ displaystyle F (X) = {\ frac {1 + X} {1-X ^ {2} -X ^ {3}}}.}

Această succesiune de numere întregi crește strict de la rangul 3; termenii săi sunt:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12  etc. (continuare A134816 a OEIS ).

Ele sunt exprimate în funcție de cele trei rădăcini r 1 , r 2 și r 3 din X 3 - X - 1 (unul real și doi complexe conjugate):

Pnu=(1-r2)(1-r3)(r1-r2)(r1-r3)r1nu+(1-r3)(1-r1)(r2-r3)(r2-r1)r2nu+(1-r1)(1-r2)(r3-r1)(r3-r2)r3nu.{\ displaystyle P_ {n} = {\ frac {(1-r_ {2}) (1-r_ {3})} {(r_ {1} -r_ {2}) (r_ {1} -r_ {3 })}} r_ {1} ^ {n} + {\ frac {(1-r_ {3}) (1-r_ {1})} {(r_ {2} -r_ {3}) (r_ {2 } -r_ {1})}} r_ {2} ^ {n} + {\ frac {(1-r_ {1}) (1-r_ {2})} {(r_ {3} -r_ {1} ) (r_ {3} -r_ {2})}} r_ {3} ^ {n}.}

În formulele de Cardan dau la rădăcina reală numărul de plastic sau suma de bani:

12+69183+12-69183≈1,32472.{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {{\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {69}} {18}}}} + {\ sqrt [{3}] {{ \ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {69}} {18}}}} \ aproximativ 1.32472.}

Numerele primului Padovan sunt 2, 3, 5, 7, 37, 151  etc. (continuare A100891 din OEIS ).

Variante

Uneori găsim inițializări diferite ca în suitele A000931 , A078027 , A096231 , A124745 , A133034 , A164001 , A182097 , A228361 , A020720 și A001608 din OEIS .           

Aceasta din urmă este secvența numerelor lui Perrin  : 3, 0, 2, 3, 2, 5  etc.

Note și referințe

1. (în) Eric W. Weisstein , „  Secvența Padovan  ” pe MathWorld .
2. (în) Richard Padovan prezintă numărul plastic , rezumatul Jurnalului de rețea Nexus
3. (ro) Tales of a Neglected Number in Mathematicla Recreations Ian Stewart