Ulam Spiral

Fondul acestui articol de matematică trebuie verificat (23 februarie 2017).

Îmbunătățire sau discuta lucruri de verificat . Dacă tocmai ați aplicat bannerul, vă rugăm să indicați punctele de verificat aici .

Ulam Spiral

În matematică , spirala Ulam sau spirala numărului prim (în alte limbi, se mai numește și ceas Ulam ) este o metodă simplă de reprezentare a numerelor prime care dezvăluie un model care nu a fost niciodată pe deplin explicat. A fost descoperit de matematicianul Stanislaw Ulam (cunoscut în special pentru munca sa asupra bombei H ), în timpul unei conferințe științifice din 1963.

Istoric

Ulam s-a trezit blocat, forțat să asculte „o discuție foarte lungă și foarte plictisitoare”. Și-a petrecut timpul schițând și a început să mâzgălească numere întregi consecutive, începând cu 1 în centru, într-un fel de spirală care se rotește în sens invers acelor de ceasornic. A obținut o rețea regulată de numere, începând cu un 1 în centru și spiralând astfel:

Apoi, a încercuit toate numerele prime, așa că a obținut următoarea imagine:

Spre surprinderea sa, numerele încercuite tindeau să se alinieze de-a lungul liniilor diagonale. Următoarea imagine ilustrează acest lucru. Este o spirală de 200 × 200 Ulam, unde numerele prime sunt negre. Diagonalele negre sunt clar vizibile.

Înapoi la stația sa de lucru, el dezvoltă manual spirala pe câteva sute de puncte. Apoi, împreună cu colaboratorii săi din Laboratorul Științific Los Alamos, Myron Stein și Mark Wells, și-a dezvoltat calculul pe Maniac II până la 100.000 de puncte. Ei imprimă câteva evoluții pentru a le fotografia.

În martie 1964, Martin Gardner a publicat în coloana Jocuri matematice a revistei Scientific American dezvoltarea spiralei Ulam cu câteva fotografii realizate de Ulam și colaboratorii săi. Spirala este pe coperta acestui număr. În coloanele sale, Gardner trasează o paralelă cu triunghiul lui Klauber.

Explicații

Liniile diagonale apar cu o cantitate de numere reprezentate. Acest lucru pare să rămână adevărat, chiar dacă numărul central al plecării este mai mare de 1. Observăm astfel că pare să existe o infinitate de numere naturale a , b și c astfel încât funcția:

generează un număr extraordinar de mare de numere prime. A fost atât de semnificativ încât Ulam Spiral a apărut pe coperta Scientific American dinMartie 1964.

La o distanță suficientă de centru, liniile orizontale și verticale sunt, de asemenea, vizibile.

Pentru urmăritorii numărului prim, aceste numere erau familiare. În secolul  al XVIII- lea , Euler a avansat formula n 2 + n + 17 care, pentru valorile succesive ale lui n , a dat numere prime n = 0 la n = 15 . De fapt, aceste șaisprezece numere prime sunt cele care apar pe diagonala principală a spiralei Ulam cu 17 ca număr central de pornire: 17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149 , 173, 199, 227 și 257. Euler a propus o altă formulă, n 2 - n + 41 care, pentru valori succesive de n cuprinse între 1 și 40, produce numai numere prime.

Prin calcul computerizat, s-a arătat că formula lui Euler n 2 - n + 41 a fost surprinzător de bună, deoarece generează numere prime mai mici de zece milioane în 47,5% din cazuri. Ulam a găsit alte formule ale căror procente de succes au fost aproape la fel de bune ca și cele ale lui Euler.

Alte ecuații au fost descoperite direct în spirală. Observăm, de exemplu, formula , care face posibilă obținerea de douăsprezece ori mai multe numere prime decât alte linii ale spiralei.

Spirala numărului divizorilor

Un alt mod de a evidenția aliniamentele oblice este de a desena un disc deasupra fiecărui număr cu un diametru egal cu numărul său de divizoare . Prin urmare, numerele prime sunt reprezentate de un disc cu diametrul 2.

Variante

Un articol Klauber din 1932 descrie un triunghi în care rândul n conține numerele ( n - 1) 2 + 1 până la n 2 . La fel ca în spirala Ulam, polinoamele pătratice generează numere care se află în linii orizontale. Liniile verticale corespund numerelor de forma k 2 - k + M . Liniile verticale și diagonale cu densitate mare de numere prime sunt evidente în figură.

Robert Sacks a conceput o variație a spiralei Ulam în 1994. În spirala Sacks , numerele întregi non-negative sunt desenate pe o spirală arhimedică mai degrabă decât pe o spirală pătrată folosită de Ulam și sunt distanțate astfel încât „un pătrat perfect apare la fiecare rotație completă . (În spirala lui Ulam, apar două pătrate la fiecare rotație.) Polinomul generatorului de numere prime al lui Euler, x 2 - x +41, apare acum ca o singură curbă unde x ia valorile 0, 1, 2, ... Această curbă se apropie asimptotic de o linie orizontală în jumătatea stângă a figurii. (În spirala lui Ulam, polinomul lui Euler formează două linii diagonale, una în jumătatea superioară a figurii, cealaltă în jumătatea inferioară a figurii).

O structură suplimentară poate fi văzută atunci când numerele compozite sunt incluse și în spirala Ulam. Numărul 1 are un singur factor, el însuși; fiecare număr prim are doi factori, el însuși și 1; numerele compuse sunt divizibile cu cel puțin trei factori diferiți. Mărimea punctului care reprezintă un număr întreg indică numărul de factori și colorarea acestuia este în roșu pentru numerele prime sau în albastru pentru numerele compuse, producând figura opusă.

Următoarele spirale generează, de asemenea, rânduri bogate în numere prime, de exemplu, spirale hexagonale.

Spirala Ulam în enumerarea primară

Se poate folosi numerotația primară pentru a reprezenta Spirala lui Ulam. Criteriile de divizibilitate asociate acestei numerații fac posibilă asocierea culorilor cu multipli de 3 care nu sunt multipli de 2, cu multipli de 5 care nu sunt nici multipli de 2, nici de 3, ... Acest lucru face posibilă înțelegerea mai bună a frecvenței a abaterilor egale cu cele primare (30, 210, 2310, ...) care apar vizual pe spirală. În ilustrație, spirala Ulam este centrată la 0 și amestecăm numărul primar și numărul de bază zece.

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „  Ulam spiral  ” ( vezi lista autorilor ) .
  1. Francoise Ulam , "  Vita: Extrase din Aventurile unui matematician  " [ arhivă du14 ianuarie 2009] , Laboratorul Național Los Alamos,1987(accesat la 7 octombrie 2011 )
  2. Gardner 1964 , p.  122.
  3. Stein, Ulam și Wells 1964 , p.  520.
  4. Gardner 1971 , p.  88.
  5. (în) Daniel Hartwig , „  Ghid pentru lucrările lui Martin Gardner  ” , The Online Archive of California2013, p.  117.
  6. http://primorial-sieve.com/_Ulam%20spiral%20unraveled.pdf
  7. Extras dintr-o scrisoare de la M. Euler le Père către M. Bernoulli, referitoare la memoriile tipărite printre cele din 1771, p.318
  8. https://jsfiddle.net/9woa2y8b/

Articole similare

Bibliografie