Numărul norocos al lui Euler

În matematică , un număr norocos Euler este un număr natural $p > 1$ astfel încât:

{\ displaystyle P_ {p} (n) = n ^ {2} + n + p}

este un număr prim pentru orice .

{\ displaystyle n = 0,1, ..., p-2}

Formulare echivalentă, uneori întâlnită:

{\ displaystyle Q_ {p} (n) = n ^ {2} -n + p}

este un număr prim pentru orice sau pentru orice .

{\ displaystyle n = 1, ..., p-1}

{\ displaystyle n = 0,1, ..., p-1}

Lista numerelor norocoase ale lui Euler

Leonhard Euler a identificat șase numere norocoase:

{\ displaystyle p = 2,3,5,11,17,41}

și numirea lor norocoasă Euler a fost propusă de François Le Lionnais .

De fapt, nu există altul, așa cum s-a demonstrat în 1952 . Acest rezultat se bazează pe teorema Rabinowitch care prevede că un întreg $p > 1$ este norocos dacă și numai dacă $4 p - 1$ (opusul discriminant al quadratic polinomului $P p$ ) este un număr Heegner . Cu toate acestea, lista numerelor lui Heegner s-a dovedit a fi redusă la cele nouă numere 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 și 163, primele trei dintre acestea nu sunt de forma $4 p - 1$ cu $p > 1$ .

p (numărul norocos al lui Euler)	4 p - 1 (numărul Heegner corespunzător)
2	7
3	11
5	19
11	43
17	67
41	163

Caz special de 41

Cel mai mare număr norocos al lui Euler este deci $p$ = 41. Cele 40 de numere prime $P 41 ( n )$ pentru $n$ = 0, 1, ..., 39 sunt: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, ..., 1447 , 1523, 1601. Polinomul n² + n + 41 are particularitatea de a furniza multe numere prime pentru n> 41 și nu există nici un alt polinom de forma n² + an + b, cu coeficienți a și b întregi pozitivi și mai mici de 10.000, care produce o succesiune mai lungă de numere prime.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Numere norocoase ale lui Euler ” ( vezi lista autorilor ) .

$n = p - 1$ este exclus automat deoarece $P p ( p - 1) = p 2$ .
$Q p ( n ) = P p ( n - 1)$ .
(în) Eric W. Weisstein , „ Numărul norocos al lui Euler ” pe MathWorld .
$Q p (0) = Q p (1)$ .
După A014556 din OEIS .
François Le Lionnais , Numerele remarcabile , Paris, Hermann, 1983, p. 88 și 144.
(De) G. Rabinowitch , „Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern” , în Proc. Al cincilea Internat. Congres Matematică. (Cambridge) , voi. 1,1913( citiți online ) , p. 418-421.
(De) Georg Rabinowitsch , „ Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern ” , Journal für die Reine und angewandte Mathematik , vol. 142,1913, p. 153-164 ( citește online ).
Gérard Villemin, „Numere - Curiozități, teorie și utilizări” .

Articol asociat

Formule pentru numere prime