Subdiversitate lagrangiană
Submanifoldurile lagrangiene sunt analogul în geometria simplectică a subspaiilor lagrangiene din algebra liniară.
Subpachet Lagrangian
O formă simplectică pe un pachet vector este o secțiune nedegenerată a pachetului în orice punct . Un vector de sub-pachet de este declarat a fi Lagrangiene atunci când fibrele sunt subspatii vectoriale Lagrangianului ale fibrelor , și anume:
ω{\ displaystyle \ omega}
E→M{\ displaystyle E \ rightarrow M}
E∗∧E∗→M{\ displaystyle E ^ {*} \ wedge E ^ {*} \ rightarrow M}
F{\ displaystyle F}
E{\ displaystyle E}
FX{\ displaystyle F_ {x}}
EX{\ displaystyle E_ {x}}
∀tu∈FX,ωX(tu,⋅)=0{\ displaystyle \ forall u \ in F_ {x}, \; \ omega _ {x} (u, \ cdot) = 0}
Exemplu: Dacă este un pachet vectorial real, atunci este înzestrat în mod natural cu o formă simplectică dată de:
E→M{\ displaystyle E \ to M}
E⊕E∗→M{\ displaystyle E \ oplus E ^ {*} \ to M}
ω{\ displaystyle \ omega}
ω(v⊕v∗,w⊕w∗)=v∗(w)-w∗(v){\ displaystyle \ omega (v \ oplus v ^ {*}, w \ oplus w ^ {*}) = v ^ {*} (w) -w ^ {*} (v)}
Pachetul este un subpachet Lagrangian al pachetului simplectic .
E{\ displaystyle E}E⊕E∗{\ displaystyle E \ oplus E ^ {*}}
Subvarietăți lagrangiene
Dacă este o subdiferență diferențială de , pachetul tangent se restrânge la un pachet de rang .
L{\ displaystyle L}
M{\ displaystyle M}
TM→M{\ displaystyle TM \ rightarrow M}
L{\ displaystyle L}nu{\ displaystyle n}
Se spune că o sub-varietate a unei varietăți simplectice este Lagrangiană atunci când pachetul vector este un subpachet Lagrangian al pachetului simplectic .
L{\ displaystyle L}(M,ω){\ displaystyle (M, \ omega)}
TL{\ displaystyle TL}
(TLM,ω){\ displaystyle (T_ {L} M, \ omega)}
Exemple:
- Orice curbă a unei suprafețe prevăzută cu o formă de zonă este o subvarietate lagrangiană a acesteia.
- Fie o varietate diferențială. Luați în considerare forma Liouville de pe . Dacă este o formă diferențială pe , graficul său , este un submanifold Lagrangian de if este închis.L{\ displaystyle L} λ{\ displaystyle \ lambda}
T∗L{\ displaystyle T ^ {*} L}
σ{\ displaystyle \ sigma}
L{\ displaystyle L}Γ=σ(X),X∈L{\ displaystyle \ Gamma = {\ sigma (x), x \ în L}}
(T∗L,dλ){\ displaystyle (T ^ {*} L, d \ lambda)}
σ{\ displaystyle \ sigma}
Vezi și tu
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">