Subspatiu caracteristic

Definiții

Fie E un K - spațiu vectorial dimensional finit, u un endomorfism al lui E și λ o valoare proprie a lui u .

• numit vector propriu generalizat , subspatiu spectral sau eigenspace generalizat al lui u asociat cu subspatiul λ vector

NUλ(tu)=ker⁡[(tu-λEud)m],{\ displaystyle N _ {\ lambda} (u) = \ ker \ left [(u- \ lambda {\ rm {Id}}) ^ {m} \ right],}

Id - ul fiind hartă identitatea și m multitudinea de λ în polinomul minimal al u . Acest exponent m este cel pentru care nucleul din formulă atinge dimensiunea maximă: dacă este înlocuit cu o valoare mai mare, nucleul nu se mai schimbă. Din acest motiv, putem lua și multiplicitatea lui λ în polinomul caracteristic , deoarece este întotdeauna m , conform teoremei Cayley-Hamilton . ⩾{\ displaystyle \ geqslant} 

• un vector x este un vector propriu generalizat al lui u asociat cu λ dacă x nu este zero și dacă există un număr întreg k ≥ 1 astfel încât x ∈ ker [( u - λ Id ) k ], cu alte cuvinte dacă x ∈ N λ ( u ) \ {0}.

Interes

Subspatiile caracteristice sunt folosite in caracterizarea trigonalizarii unui endomorfism . Într-adevăr, un endomorfism u al unui spațiu vectorial E este trigonalizabil dacă și numai dacă E este suma (directă) a subspaiilor caracteristice ale lui u , adică dacă și numai dacă există o bază a lui E formată din vectori proprii generalizați ai lui u . Această caracterizare se alătură celei date folosind polinomul caracteristic, care trebuie împărțit astfel încât endomorfismul să poată fi trigonalizat.