Funcția eliptică Jacobi
În matematică , funcțiile eliptice Jacobi sunt funcții eliptice de mare importanță istorică.
Introduse de Carl Gustav Jakob Jacobi în jurul anului 1830 , au aplicații directe, de exemplu în ecuația pendulului . De asemenea, prezintă analogii cu funcțiile trigonometrice , care sunt evidențiate prin alegerea notațiilor sn și cn , care amintesc păcatul și cos . Dacă funcțiile eliptice theta ale Weierstrass par mai potrivite pentru considerații teoretice, problemele fizice practice apelează mai mult la funcțiile lui Jacobi.
Introducere
Există 12 funcții eliptice Jacobi.
Acestea sunt funcții ale unei variabile complexe, dar care depind de un parametru k element de] 0,1 [, implicit în notații. k este numit modulul funcțiilor Jacobi. Cu acest parametru k , asociem cele două numere K și K ' , definite de integralele eliptice și , precum și numărul , numite comodule .
K=∫0π/2dθ1-k2păcat2θ{\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} }}}K′=∫0π/2dθ1-(1-k2)păcat2θ{\ displaystyle K '= \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1- (1-k ^ {2}) \ sin ^ { 2} \ theta}}}}k′=1-k2{\ displaystyle k '= {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}
În planul complex, avem un dreptunghi ale cărui patru vârfuri sunt notate în mod convențional s , c , d și n , astfel încât s se află la origine, c în punctul abscisei K pe axa reală, d în punctul de afixare complex
K + i K ' , și n la punctul de afixare i K' pe axa imaginară.
Numele fiecărei funcții Jacobi este apoi asociat cu o pereche formată din două vârfuri ale dreptunghiului. Astfel, numele celor 12 funcții eliptice Jacobi sunt: sc , sd , sn , cd , cn , cs , dn , ds , dc , ns , nc și nd .
Pentru orice vârf p dintre cele patru vârfuri s c d n , și pentru orice vârf q luat între cele trei vârfuri rămase, funcția Jacobi pq este singura funcție a variabilei complexe care este dublu periodică și meromorfă și care îndeplinește proprietățile următoare :
- Admite un zero simplu la vârful p și un pol simplu la vârful q .
- Este periodic din perioada 4 K în funcție de axa reală și periodic din perioada 4 K 'în funcție de axa imaginară. Numerele K și K ' se numesc „perioade trimestriale”.
- Este periodic în direcția pq , cu o perioadă de două ori distanța de la p la q .
- Coeficientul primului termen al dezvoltării sale în serie în vecinătatea lui u = 0 valorează 1. Cu alte cuvinte, acest prim termen valorează u , 1 / u sau 1 în funcție de dacă vârful corespunzător lui u = 0 este un zero, un pol sau un punct obișnuit al funcției.
Într-un cadru mai general, k este complex, precum și K și K ' , și lucrăm dintr-un paralelogram. Cu toate acestea, dacă K și K ' sunt reale, atunci funcțiile eliptice Jacobi iau valori reale atunci când sunt aplicate unei variabile reale.
Definiție
Printre cele douăsprezece funcții ale lui Jacobi, există trei, numite funcții de bază ale lui Jacobi. Sunt sn , cn și dn . Din acestea definim celelalte funcții Jacobi. Pentru a defini cele trei funcții de bază, introducem o funcție intermediară, funcția de amplitudine Jacobi.
Integrală eliptică incompletă de primul fel și funcție de amplitudine
Reamintim că integralul eliptic incomplet de primul fel asociat cu modulul k este funcția impar imparțială pe numerele reale definite de:
F(la,k)=∫0ladX1-k2păcat2X{\ displaystyle F (a, k) = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} x} }}}Observăm că constanta K definită anterior nu este alta decât . Se numește integrala eliptică completă de primul fel .
F(π2,k){\ displaystyle F ({\ frac {\ pi} {2}}, k)}
Numim funcția de amplitudine Jacobi funcția reciprocă a lui F , notată cu A :
tu=F(la,k)⟺la=LA(tu,k){\ displaystyle u = F (a, k) \ if a = A (u, k)}Este ciudat în sine și în creștere al realului, și crește tt atunci când u crește cu 2 K .
Cele trei funcții de bază ale lui Jacobi (1827)
Acestea sunt definite după cum urmează:
- funcția sinus Jacobi : . Pe reală, este periodică a perioadei de 4 K .snu(tu,k)=păcat(LA(tu,k)){\ displaystyle {\ rm {sn}} (u, k) = \ sin (A (u, k))}
- funcția cosinus Jacobi : . Pe reală, este periodică a perioadei de 4 K .vs.nu(tu,k)=cos(LA(tu,k)){\ displaystyle {\ rm {cn}} (u, k) = \ cos (A (u, k))}
- Funcția dn Jacobi : . Pe reală, este periodică cu perioada 2 K .dnu(tu,k)=1-k2snu(tu,k)2{\ displaystyle {\ rm {dn}} (u, k) = {\ sqrt {1-k ^ {2} {\ rm {sn}} (u, k) ^ {2}}}}
sn este o funcție ciudată, în timp ce cn și dn sunt pare.
Cazuri limită
Găsim funcțiile trigonometrice circulare și hiperbolice pentru valorile limită 0 și 1 din k :
- Dacă k = 0, găsim trigonometrie obișnuită. Într - adevăr, , , și K ' este trimis la infinit. sn este sinusul, cn cosinusul și dn funcția constantă 1.F(la,0)=la{\ displaystyle F (a, 0) = a}LA(tu)=tu{\ displaystyle A (u) = u}K=π2{\ displaystyle K = {\ frac {\ pi} {2}}}
- Dacă k = 1, vedem că apar funcțiile trigonometriei hiperbolice. Într-adevăr, astfel încât ( formula lui Gudermann ), K este trimis la infinit și . sn este funcția tanh , cn și dn funcția 1 / cosh .tu=F(la,1)=largth(păcat(la)){\ displaystyle u = F (a, 1) = {\ rm {argth}} (\ sin (a))}păcat(la)=tanh(tu){\ displaystyle \ sin (a) = \ tanh (u)}K′=π2{\ displaystyle K '= {\ frac {\ pi} {2}}}
Celelalte funcții
Gudermann (1838), apoi Glaisher (1882) va introduce celelalte nouă funcții:
nus(tu,k)=1snu(tu,k){\ displaystyle {\ rm {ns}} (u, k) = {\ frac {1} {{\ rm {sn}} (u, k)}}}, ,
nuvs.(tu,k)=1vs.nu(tu,k){\ displaystyle {\ rm {nc}} (u, k) = {\ frac {1} {{\ rm {cn}} (u, k)}}}nud(tu,k)=1dnu(tu,k){\ displaystyle {\ rm {nd}} (u, k) = {\ frac {1} {{\ rm {dn}} (u, k)}}}
svs.(tu,k)=snu(tu,k)vs.nu(tu,k){\ displaystyle {\ rm {sc}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {sn}} (u, k)} {{\ rm {cn}} (u, k)}}},
vs.s(tu,k)=vs.nu(tu,k)snu(tu,k){\ displaystyle {\ rm {cs}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {cn}} (u, k)} {{\ rm {sn}} (u, k)}}}
sd(tu,k)=snu(tu,k)dnu(tu,k){\ displaystyle {\ rm {sd}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {sn}} (u, k)} {{\ rm {dn}} (u, k)}}},
ds(tu,k)=dnu(tu,k)snu(tu,k){\ displaystyle {\ rm {ds}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {dn}} (u, k)} {{\ rm {sn}} (u, k)}}}
vs.d(tu,k)=vs.nu(tu,k)dnu(tu,k){\ displaystyle {\ rm {cd}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {cn}} (u, k)} {{\ rm {dn}} (u, k)}}},
dvs.(tu,k)=dnu(tu,k)vs.nu(tu,k){\ displaystyle {\ rm {dc}} (u, k) = {\ frac {{\ rm {dn}} (u, k)} {{\ rm {cn}} (u, k)}}}
Funcții reciproce
Putem defini funcțiile inverse ale funcțiilor eliptice Jacobi, pentru x între -1 și 1:
- LArvs.snu(X,k)=∫0Xdt(1-t2)(1-k2t2){\ displaystyle \ mathrm {Arcsn} \, (x, k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ {2})}}}}
- LArvs.vs.nu(X,k)=∫X1dt(1-t2)(1-k2+k2t2){\ displaystyle \ mathrm {Arccn} \, (x, k) = \ int _ {x} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} + k ^ {2} t ^ {2})}}}}
Formă
Valori remarcabile
Pentru valorile reale ale variabilei:
- pentru u = 0, avemsn(0)=0,cn(0)=1,dn(0)=1.{\ displaystyle {\ text {sn}} (0) = 0, \, {\ text {cn}} (0) = 1, \, {\ text {dn}} (0) = 1.}
- pentru u = K / 2, avemsn(K2)=11+k′,cn(K2)=k′1+k′,dn(K2)=k′.{\ displaystyle {\ text {sn}} \ left ({\ frac {K} {2}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + k '}}}, \, {\ text {cn}} \ left ({\ frac {K} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {k '} {1 + k'}}}, \, {\ text {dn}} \ left ({\ frac {K} {2}} \ right) = {\ sqrt {k '}}.}
- pentru u = K , avemsn(K)=1,cn(K)=0,dn(K)=k′{\ displaystyle {\ text {sn}} (K) = 1, \, {\ text {cn}} (K) = 0, \, {\ text {dn}} (K) = k '}
Derivate
Derivații funcțiilor de bază sunt:
LA′(tu)=dn(tu){\ displaystyle A '(u) = {\ text {dn}} (u)}
sn′(tu)=cn(tu)dn(tu){\ displaystyle {\ text {sn}} '(u) = {\ text {cn}} (u) {\ text {dn}} (u)}
cn′(tu)=-sn(tu)dn(tu){\ displaystyle {\ text {cn}} '(u) = - {\ text {sn}} (u) {\ text {dn}} (u)}
dn′(tu)=-k2sn(tu)cn(tu){\ displaystyle {\ text {dn}} '(u) = - k ^ {2} {\ text {sn}} (u) {\ text {cn}} (u)}
Traducere
Avem următoarele relații:
- sn(tu+K)=cn(tu)dn(tu){\ displaystyle {\ text {sn}} (u + K) = {\ frac {{\ text {cn}} (u)} {{\ text {dn}} (u)}} \,}
- cn(tu+K)=-k′sn(tu)dn(tu){\ displaystyle {\ text {cn}} (u + K) = - k '{\ frac {{\ text {sn}} (u)} {{\ text {dn}} (u)}}}
- dn(tu+K)=k′dn(tu){\ displaystyle {\ text {dn}} (u + K) = {\ frac {k '} {{\ text {dn}} (u)}} \,}
- sn(tu+2K)=-sn(tu){\ displaystyle {\ text {sn}} (u + 2K) = - {\ text {sn}} (u)}
- cn(tu+2K)=-cn(tu){\ displaystyle {\ text {cn}} (u + 2K) = - {\ text {cn}} (u)}
- dn(tu+2K)=dn(tu){\ displaystyle {\ text {dn}} (u + 2K) = {\ text {dn}} (u)}
Relații trigonometrice
Plus
Următoarele formule de adiție sunt disponibile, generalizând formulele de adunare trigonometrice:
- sn(tu+v)=sn(tu)cn(v)dn(v)+sn(v)cn(tu)dn(tu)1-k2sn2(tu)sn2(v){\ displaystyle {\ text {sn}} (u + v) = {\ frac {{\ text {sn}} (u) {\ text {cn}} (v) {\ text {dn}} (v) + {\ text {sn}} (v) {\ text {cn}} (u) {\ text {dn}} (u)} {1-k ^ {2} {\ text {sn}} ^ {2 } (u) {\ text {sn}} ^ {2} (v)}}}
- cn(tu+v)=cn(tu)cn(v)-sn(tu)dn(tu)sn(v)dn(v)1-k2sn2(tu)sn2(v){\ displaystyle {\ text {cn}} (u + v) = {\ frac {{\ text {cn}} (u) {\ text {cn}} (v) - {\ text {sn}} (u ) {\ text {dn}} (u) {\ text {sn}} (v) {\ text {dn}} (v)} {1-k ^ {2} {\ text {sn}} ^ {2 } (u) {\ text {sn}} ^ {2} (v)}}}
- dn(tu+v)=dn(tu)dn(v)-k2sn(tu)cn(tu)sn(v)cn(v)1-k2sn2(tu)sn2(v){\ displaystyle {\ text {dn}} (u + v) = {\ frac {{\ text {dn}} (u) {\ text {dn}} (v) -k ^ {2} {\ text { sn}} (u) {\ text {cn}} (u) {\ text {sn}} (v) {\ text {cn}} (v)} {1-k ^ {2} {\ text {sn }} ^ {2} (u) {\ text {sn}} ^ {2} (v)}}}
Pătrate
- sn2(tu)+cn2(tu)=1{\ displaystyle {\ text {sn}} ^ {2} (u) + {\ text {cn}} ^ {2} (u) = 1 \,}
- k2sn2(tu)+dn2(tu)=1{\ displaystyle k ^ {2} {\ text {sn}} ^ {2} (u) + {\ text {dn}} ^ {2} (u) = 1 \,}
-
k2cn2(tu)+k′2=dn2(tu){\ displaystyle k ^ {2} {\ text {cn}} ^ {2} (u) + k '^ {2} = {\ text {dn}} ^ {2} (u) \,}cu complementul modulului k .k′=1-k2{\ displaystyle k '= {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}
- cn2(tu)+k′2sn2(tu)=dn2(tu){\ displaystyle {\ text {cn}} ^ {2} (u) + k '^ {2} {\ text {sn}} ^ {2} (u) = {\ text {dn}} ^ {2} (u) \,}
Transformă pătratele în arcuri duble
- sn2(tu)=1-cn(2tu)1+dn(2tu){\ displaystyle {\ text {sn}} ^ {2} (u) = {\ frac {1 - {\ text {cn}} (2u)} {1 + {\ text {dn}} (2u)}} }
- cn2(tu)=dn(2tu)+cn(2tu)1+dn(2tu){\ displaystyle {\ text {cn}} ^ {2} (u) = {\ frac {{\ text {dn}} (2u) + {\ text {cn}} (2u)} {1 + {\ text {dn}} (2u)}}}
- dn2(tu)=dn(2tu)+cn(2tu)1+cn(2tu){\ displaystyle {\ text {dn}} ^ {2} (u) = {\ frac {{\ text {dn}} (2u) + {\ text {cn}} (2u)} {1 + {\ text {cn}} (2u)}}}
Ecuatii diferentiale
Regulile de derivare a funcțiilor Jacobi ne permit să arătăm că sn , cn și dn sunt, respectiv, soluții ale următoarelor ecuații diferențiale:
-
sn :X¨+(1+k2)X-2k2X3=0{\ displaystyle {\ ddot {x}} + (1 + k ^ {2}) x-2k ^ {2} x ^ {3} = 0}
-
cn :X¨+(1-2k2)X+2k2X3=0{\ displaystyle {\ ddot {x}} + (1-2k ^ {2}) x + 2k ^ {2} x ^ {3} = 0}
-
dn :X¨-(2-k2)X+2X3=0{\ displaystyle {\ ddot {x}} - (2-k ^ {2}) x + 2x ^ {3} = 0}
Aplicații
Pendulul oscilant simplu
Considerăm un pendul simplu , de lungime l , oscilant într-un câmp de greutate g . Fie θ unghiul pe care îl formează cu verticala descendentă și θ 0 amplitudinea sa maximă. θ îndeplinește următoarea ecuație de mișcare (rezultată din conservarea energiei mecanice a pendulului):
θ˙2=2gl(cosθ-cosθ0){\ displaystyle {{\ dot {\ theta}} ^ {2}} = 2 {\ frac {g} {l}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}Soluția acestei ecuații care dispare la momentul t = 0 verifică:
păcat(θ2)=păcat(θ02)snu(ω0t,k){\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right) \, \ mathrm {sn} (\ omega _ {0} t, k)}unde modulului funcției Jacobi i s-a dat valoarea și unde este pulsația pendulului simplu pentru amplitudini mici.
k=păcat(θ02){\ displaystyle k = \ sin \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right)}ω0=gl{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {g} {l}}}}
Demonstrație
Să verificăm dacă soluția propusă θ satisface ecuația mișcării. Obținem egalitatea în ceea ce privește timpul, ceea ce dă:
păcat(θ2)=păcat(θ02)snu(ω0t)=ksnu(ω0t){\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right) \, \ mathrm {sn} (\ omega _ {0} t) = k \, \ mathrm {sn} (\ omega _ {0} t)}
12cos(θ2)θ˙=kω0vs.nu(ω0t)dnu(ω0t){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \, {\ dot {\ theta}} = k \, \ omega _ { 0} \, \ mathrm {cn} (\ omega _ {0} t) \, \ mathrm {dn} (\ omega _ {0} t)}Am pătrat și exprimăm cn și dn în termeni de sn , apoi folosim identități trigonometrice:
14cos2(θ2)θ˙2=k2ω02(1-snu2(ω0t))(1-k2snu2(ω0t))=ω02(k2-k2snu2(ω0t))(1-păcat2(θ2))=ω02(păcat2(θ02)-păcat2(θ2))cos2(θ2)=ω02cosθ-cosθ02cos2(θ2){\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {4}} \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) {\ dot {\ theta}} ^ {2} & = k ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} \ left (1- \ mathrm {sn} ^ {2} (\ omega _ {0} t) \ right) \ left ( 1-k ^ {2} \ mathrm {sn} ^ {2} (\ omega _ {0} t) \ right) \\ & = \ omega _ {0} ^ {2} \ left (k ^ {2} -k ^ {2} \, \ mathrm {sn} ^ {2} (\ omega _ {0} t) \ right) \ left (1- \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right) \\ & = \ omega _ {0} ^ {2} \ left (\ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2} } \ right) - \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right) \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2} } \ right) \\ & = \ omega _ {0} ^ {2} {\ frac {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}} {2}} \ cos ^ {2} \ left ({ \ frac {\ theta} {2}} \ right) \\\ end {align}}}Știind asta , ne facem bine .
ω0=gl{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {g} {l}}}}θ˙2=2gl(cosθ-cosθ0){\ displaystyle {{\ dot {\ theta}} ^ {2}} = 2 {\ frac {g} {l}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}
Calculul de mai sus arată, de asemenea, că:
θ˙=2kω0vs.nu(ω0t){\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 2k \, \ omega _ {0} \, \ mathrm {cn} (\ omega _ {0} t)}
Perioada pendulului este . Funcția de amplitudine crește odată cu t și joacă rolul unei „scări de timp” adaptate problemei: la fiecare perioadă de timp real a pendulului, amplitudinea va crește cu 2π . Anizochronicitatea mișcării este evidentă, deoarece perioada pendulului depinde de modulul k , deci de θ 0 .
T=4K(k)ω0{\ displaystyle T = {\ frac {4K (k)} {\ omega _ {0}}}}LA(ω0t,k){\ displaystyle A (\ omega _ {0} t, k)}
Pentru oscilații mici, k este foarte mic, astfel încât funcția sn este similară cu sinusul. Aproximând sinusul lui θ cu θ și făcând același lucru pentru θ 0 , găsim formula clasică .
θ=θ0păcat(ω0t){\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ sin (\ omega _ {0} t)}
Când θ 0 tinde la π , k tinde la 1 și K ( k ) tinde la infinit ca . Dacă T 0 este perioada pendulului simplu pentru oscilații mici, atunci perioada pendulului devine:
ln(41-k2){\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {4} {\ sqrt {1-k ^ {2}}}} \ right)}2πω0{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}}}
T=T02πln(8π-θ0){\ displaystyle T = T_ {0} \, {\ frac {2} {\ pi}} \ ln \ left ({\ frac {8} {\ pi - \ theta _ {0}}} \ right)}.
Când se atinge limita, sn este egal cu funcția tanh . Apoi avem:
θ=2arcsin(tanh(ω0t))=4arctan(exp(ω0t))-π{\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin (\ tanh (\ omega _ {0} t)) = 4 \ arctan (\ exp (\ omega _ {0} t)) - \ pi}care tinde spre π când t tinde spre infinit.
Pendulul simplu care se învârte
În cazul unui pendul animat la o viteză suficient de mare pentru a-l face să se rotească, ecuația mișcării este scrisă:
θ˙2=2gl2[H-l+lcos(θ)]{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} ^ {2} = {\ frac {2g} {l ^ {2}}} [H-l + l \ cos (\ theta)]}unde H este o constantă omogenă la o lungime și strict mai mare de 2 l . Soluția θ este apoi exprimată folosind funcția de amplitudine Jacobi sub forma:
θ=2LA(Hg2l2t,k){\ displaystyle \ theta = 2A \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t, k \ right)}unde dăm modulului funcției Jacobi valoarea .
k=2lH{\ displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {2l} {H}}}}
Demonstrație
Dacă obținem egalitatea în ceea ce privește timpul, obținem:
θ˙=2Hg2l2dnu(Hg2l2t){\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 2 {\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \ mathrm {dn} \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right)}prin urmare, prin pătrare și luând în considerare că :
păcat(θ2)=păcat[LA(Hg2l2t)]=snu(Hg2l2t){\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = \ sin \ left [A \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right) \ right] = \ mathrm {sn} \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}}, t \ right)}
θ˙2=2Hgl2[1-k2snu2(Hg2l2t)]=2Hgl2[1-2lHpăcat2(θ2)]=2gl2[H-l(1-cos(θ))]{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ theta}} ^ {2} & = {\ frac {2Hg} {l ^ {2}}} \ left [1-k ^ {2} \ mathrm { sn} ^ {2} \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right) \ right] \\ & = {\ frac {2Hg} {l ^ { 2}}} \ left [1 - {\ frac {2l} {H}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right] \\ & = { \ frac {2g} {l ^ {2}}} [Hl (1- \ cos (\ theta))] \ end {align}}}cum era de așteptat.
Mișcarea Poinsot a unui solid
Această mișcare este cea a unui solid în rotație, dus relativ la centrul său de inerție G , când momentul comparat cu G al forțelor externe este nul. Pentru orice solid fără simetrie specială, ecuațiile mișcării sunt rezolvate folosind funcțiile eliptice Jacobi. În special, cele trei componente ale vectorului de rotație instantanee din cadrul de referință legat de solidul alcătuit din axele principale de inerție sunt respectiv proporționale cu cn , sn , dn .
Propagarea undelor
Funcția face posibilă modelarea înălțimii suprafeței apei când trece un soliton , cum ar fi un tsunami de exemplu, unde, cu excepția unei schimbări de unitate, ξ este înălțimea valului, x este abscisa unde măsurăm acest lucru înălțime, t este timpul și B un parametru ținând cont de adâncimea mediului. Este într-adevăr una dintre soluțiile ecuației lui Korteweg și a lui Vries . Unda astfel modelată se numește undă cnoidală .
ξ:(X,t)→vs.nu2(B(X-vs.t)){\ displaystyle \ xi: (x, t) \ to \ mathrm {cn} ^ {2} (B (x-ct))}
Pompare optică
Funcția sn intervine pentru a modela epuizarea pompei în amestecul optic cu trei unde, care este utilizat în oscilatoarele parametrice optice .
Vezi și tu
Bibliografie
-
M. Abramowitz, IA Stegun, Manual de funcții matematice , Biroul național de standarde,1972( citește online ), capitolul 16, de LM Milne-Thomson.
- Hermann Laurent , Teoria elementară a funcțiilor eliptice , Gauthier-Villars, Paris,1880( citește online )
- Alfred George Greenhill , Funcțiile eliptice și aplicațiile lor , G. Carré, Paris,1895( citește online )
- Paul Appell , Émile Lacour, Principiile teoriei funcțiilor și aplicațiilor eliptice , Gauthier-Villars et fils, Paris,1897( citește online )
linkuri externe
-
WP Reinhardt, PL Walker, „ Jacobian Elliptic Functions ” . Printre numeroasele proprietăți ale funcțiilor eliptice Jacobi pe care le oferă acest site, se vor găsi în special în capitolul 22.20 metode de calcul numeric rapid al acestor funcții.
Note și referințe
-
Abramowitz-Stegun 1972 , p. 569
-
Abramowitz-Stegun 1972 , p. 571
-
Abramowitz-Stegun 1972 , p. 570
-
WP Reinhardt, PL Walker, „ Jacobian Elliptic Functions ” , la dlmf.nist.gov , §22.15, Inverse Functions
-
Abramowitz-Stegun 1972 , p. 574
-
Abramowitz-Stegun 1972 , p. 572
-
WP Reinhardt, PL Walker, „ Jacobian Elliptic Functions ” , la dlmf.nist.gov , §22.13, Derivați și ecuații diferențiale
-
L. Landau, E. Lifchitz, Fizică teoretică, mecanică , Elipse, 1994, p. 176
-
Paul Elwyn Britton, „ Dispozitive neliniare bazate pe niobat de litiu cu poliuri periodice cu fibră cu laser ” , de la Universitatea din Southampton ,2000, p. 101, cap. 5 („Amplificare și generare parametrică”)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">