Suită și serie de funcții

În analiză , o secvență sau o serie de funcții este o secvență sau o serie ale cărei termeni sunt funcții definite toate pe un set X și cu valori reale sau complexe , sau mai general valori vectoriale .

Moduri de convergență

Convergență simplă
Convergență uniformă
Convergență absolută
Convergență normală
Convergență aproape peste tot (peste un spațiu măsurat)
Convergență în măsură (de) (pe un spațiu măsurat)
Convergență în spațiul $L p$ (pe un spațiu măsurat)
Convergența variabilelor aleatorii (în drept, în probabilitate, aproape sigur, în medie ...)

Limita uniformă a unei secvențe de funcții continue este continuă.
Teorema limită simplă a lui Baire : pentru o succesiune de funcții continue ale unei variabile reale care converge pur și simplu pe un interval I, setul de puncte de continuitate al limitei sale este dens.
Teorema lui Egoroff : pe un spațiu de probabilitate, dacă o secvență de funcții converge aproape peste tot, atunci converge uniform în afara unei părți măsurabile de măsură, cât de mică se dorește. Una dintre aplicațiile sale este teorema lui Lusin : orice funcție boreliană a unei variabile reale este continuă în afara unui set măsurabil de măsură, pe cât de mic se dorește. Aceste rezultate pot fi văzute ca analogul teoremei limită simple a lui Baire în teoria măsurătorilor .

Monotonă teorema de convergență și convergența dominat teorema permite să meargă la limita în integralele. Convergența aproape peste tot a funcțiilor care trebuie integrate nu este suficientă; este necesară o condiție suplimentară (creșterea secvenței sau condiției de dominație).
De teoremele Dini asigură, pe baza unor ipoteze suplimentare, unele secvențe pur și simplu convergente sunt convergente uniform.