Măsură algebrică

În geometria elementară

În geometrie , o măsură algebrică este o lungime atribuită unui semn , ceea ce face posibilă orientarea direcției sale pe o axă dată.

Deci, în timp ce lungimea unui segment este întotdeauna pozitivă, putem folosi o măsură algebrică a acelui segment, care este egală cu lungimea sa dacă o luăm într-o direcție și opusă lungimii sale dacă o luăm. În cealaltă.

Notația care diferențiază o măsură algebrică referitoare la un segment din lungimea sa este de a plasa o bară orizontală deasupra literelor care reprezintă cele două puncte ale segmentului. În timp ce ordinea literelor nu contează în notația unei lungimi, aceasta definește cu precizie semnul măsurii algebrice, deoarece prima literă desemnează punctul de plecare, iar a doua desemnează punctul final.

Exemplu: măsura algebrică a unui segment [AB] (sau [BA], care este echivalent) poate fi sau . Dacă presupunem că axa este orientată de la A la B, atunci și . Dacă, dimpotrivă, presupunem că axa este orientată de la B la A, atunci și . $\ overline {AB}$ $\ overline {BA}$ $\ overline {AB} = AB$ $\ overline {BA} = -AB$ $\ overline {AB} = -AB$ $\ overline {BA} = AB$

Produsul măsurătorilor algebrice a două segmente purtate de aceeași linie nu depinde de orientarea acesteia și, prin urmare, poate fi introdus direct în geometria euclidiană (a se vedea puterea unui punct în raport cu un cerc ).

În ceea ce privește coeficientul, acesta nu depinde nici de unitatea de lungime aleasă: de fapt, coeficientul măsurilor algebrice a două segmente purtate de aceeași linie dreaptă este o noțiune de geometrie afină .

În geometrie afină

Noțiunea de măsură algebrică apare în unele enunțuri de rezultat ( teorema lui Thales , teorema lui Ceva , teorema lui Menelaus , ..) care nu necesită nici ceea ce a definit o unitate de „lungime”, nici măcar spațiul în care lucrăm se bazează pe corp de realuri .

În primul rând, având în vedere două puncte și un spațiu afin , este posibil să definim măsura algebrică imediat ce am privilegiat anterior un vector printre cei care direcționează linia : notația va desemna pur și simplu scalarul unic, cum ar fi . Aceasta generalizează bine definiția „naivă”: dacă suntem pe o linie orientată într-un spațiu afin euclidian , găsim aceeași cantitate ca mai sus dacă luăm pentru vectorul unitar orientarea și îndreptarea în direcția indicată de orientare. $LA$ $B$ $\ overline {AB}$ ${\ vec {u}}$ $(AB)$ $\ overline {AB}$ $\ lambda$ $\ vec {AB} = \ lambda \ vec u$ ${\ vec {u}}$ $(AB)$

Mai precis, atunci când intervin rapoarte de măsurare algebrică, nu mai este nevoie de un vector de referință. Având în vedere trei aliniate puncte , și un spațiu afin (și nimic altceva), cum ar fi , putem defini cantitatea $LA$ $B$ $VS$ $A \ not = C$

{\ overline {AB} \ over \ overline {AC}}

ca unic scalar astfel încât $\ lambda$ $\ overrightarrow {AB} = \ lambda \, \ overrightarrow {AC}.$

Cele Transformările afine păstrează aceste rapoarte măsuri algebrice.

Note și referințe

Această definiție este de exemplu disponibilă în cursul Matematicii lui L. Lesieur și C. Joulain, Armand Colin, 1966, volumul I, p. 223.
Vezi de exemplu nota 2.4.6 din tratatul de geometrie de Marcel Berger (volumul 1, p. 68 în ediția din 1979 - CEDIC Fernand Nathan). Marcel Berger notează acest scalar , care subliniază că această noțiune de „relație” își ia sensul independent de cea a măsurii algebrice. De asemenea, putem observa că limba germană dă un nume acestei relații (" Teilverhältnis ") pentru care există o notație specifică ( ) - vezi de exemplu (de) o listă de verificare a geometriei afine de Bernard Kabelka, disponibilă online pe site-ul web al Universitatea Tehnică din Viena (consultată la 30 septembrie 2007). ${\ overrightarrow {AB} \ over \ overrightarrow {AC}}$ $TV (B, C, A)$