Relația Steinhart-Hart

Relația Steinhart - Hart modelează evoluția rezistenței electrice a unui semiconductor în funcție de temperatura acestuia. Componentele care exploatează această proprietate se numesc termistori . Această lege poate fi scrisă:

{\ displaystyle {\ frac {1} {T}} = A + B \ ln {(R)} + C \ left (\ ln {(R)} \ right) ^ {3}}

Cu:

$T$ temperatura acestuia (în Kelvin );
$R$ rezistența sa electrică (în ohmi );
$LA$ , și coeficienții Steinhart-Hart care caracterizează fiecare termistor. $B$ $VS$

Această relație este valabilă pe întreaga gamă de funcționare a componentei. Cu toate acestea, există formule care sunt mai ușor de manevrat, dar limitate la o gamă limitată de temperaturi (a se vedea articolul despre termistor ).

Ecuația conține, de asemenea, în teorie, un termen în general neglijabil în comparație cu ceilalți coeficienți. Prin urmare, nu este luat în considerare aici. (În prezența sa ar exista apoi 4 coeficienți.) ${\ displaystyle (\ ln R) ^ {2}}$

utilizare

Această relație este adesea utilizată pentru a estima cu precizie rezistența unui termistor în funcție de temperatură pe întregul său domeniu de funcționare. În timp ce ecuațiile, desigur mai simple, date de producători sunt deseori precise doar pe anumite intervale de temperatură. Prin urmare, uneori poate fi util să ai această lege mai delicată, dar totuși mai precisă.

Coeficienții Steinhart - Hart sunt uneori publicați de producători. În cazul în care acest lucru nu este cazul, trebuie să rezolve un sistem de 3 ecuații și 3 necunoscute pentru a găsi aceste constante A, B și C .

Inversia

Putem căuta relația reciprocă (obținem R cunoscând T), cu T în kelvini și R în ohmi.

{\ displaystyle R = \ exp \ left ({\ sqrt [{3}] {y- {x \ over 2}}} - {\ sqrt [{3}] {y + {x \ over 2}}} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {1} {C}} \ left (A - {\ frac {1} {T}} \ right) \\ y & = {\ sqrt {\ left ({B \ over 3C} \ right) ^ {3} + \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {2}}} \ end {align}}}

Programați în Python 2.7 pentru a calcula relația de mai sus:

#!/usr/bin/python2.7 # [email protected]/ (Femto-st Institut)Last modification; 02/Oct/2018 import math from math import log as ln# on francise le log en log neperien ln from math import exp #---coefficients de Steinhart-Hart pour l'exemple---# A= 0.0011268740732306604 B= 0.00023452183442732656 C= 8.590172470421073e-08 #---------------------------------------------------# x=(1/C)*(A-1/T) y=((B/3/C)**3+(x/2)**2)**0.5 Tc= T-273.15 # temperature en degres Celsius R= exp(pow((y-(x/2)),1/3.0)-(pow((y+(x/2)),1/3.0))) #print(x,y) #print(A,B,C) print(R,Tc)

Coeficienții Steinhart-Hart

Pentru a găsi coeficienții Steinhart-Hart este suficient să cunoașteți trei puncte de operare și să puneți un sistem. Pentru aceasta, se utilizează trei valori de rezistență date pentru trei temperaturi cunoscute.

{\ displaystyle {\ begin {cases} A + (\ ln R_ {1}). B + (\ ln R_ {1}) ^ {3} .C = {\ dfrac {1} {T_ {1}}} \\ A + (\ ln R_ {2}). B + (\ ln R_ {2}) ^ {3} .C = {\ dfrac {1} {T_ {2}}} \\ A + (\ ln R_ {3}) .B + (\ ln R_ {3}) ^ {3} .C = {\ dfrac {1} {T_ {3}}} \ end {cases}}}

Cu , și valorile rezistenței la temperaturile respective , și putem exprima apoi , iar după câteva substituții: ${\ displaystyle R_ {1}}$ ${\ displaystyle R_ {2}}$ ${\ displaystyle R_ {3}}$ $T _ {{1}}$ $T _ {{2}}$ $T _ {{3}}$ $LA$ $B$ $VS$

Pozăm și la fel de bine și ${\ displaystyle Y_ {1} = {\ dfrac {1} {T_ {1}}}}$ ${\ displaystyle Y_ {2} = {\ dfrac {1} {T_ {2}}}}$ ${\ displaystyle Y_ {3} = {\ dfrac {1} {T_ {3}}}}$ ${\ displaystyle L_ {1} = \ ln R_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2} = \ ln R_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {3} = \ ln R_ {3}}$

Apoi obținem:

${\ displaystyle a = \ left ({\ dfrac {L_ {2} -L_ {3}} {L_ {1} -L_ {2}}} \ right) \ times \ left (L_ {2} ^ {3} -L_ {1} ^ {3} \ right) + \ left (L_ {2} ^ {3} -L_ {3} ^ {3} \ right)}$ și ${\ displaystyle b = Y_ {2} -Y_ {3} - \ left ({\ dfrac {L_ {2} -L_ {3}} {L_ {1} -L_ {2}}} \ right) \ times \ stânga (Y_ {1} -Y_ {2} \ dreapta)}$

Coeficienții se obțin astfel:

${\ displaystyle C = {\ dfrac {b} {a}}}$

${\ displaystyle B = \ left ({\ dfrac {1} {L_ {1} -L_ {2}}} \ right) \ times {\ Bigl [} Y_ {1} -Y_ {2} - \ left (L_ {1} ^ {3} -L_ {2} ^ {3} \ right) \ times C {\ Bigr]}}$

${\ displaystyle A = Y_ {1} -L_ {1} \ cdot B-L_ {1} ^ {3} \ cdot C}$

De unde micul program (în mare parte îmbunătățit) de mai jos scris în Python2.7, permițând determinarea acestor coeficienți.

#!/usr/bin/python2.7 # on francise le log en log neperien ln ! from math import * from math import log as ln Tun = eval(input('Entrez la temperature T1 du premier point (en degres Celsius) : ')) Run = eval(input('et la resistance R1 du premier point (en ohms) : ')) print('\t----------------------------------') Tdeux = eval(input('Entrez la temperature T2 du deuxieme point (en degres Celsius) : ')) Rdeux = eval(input('et la resistance R2 du deuxieme point(en ohms) : ')) print('\t----------------------------------') Ttrois = eval(input('Entrez la temperature T3 du troisieme point (en degres Celsius) : ')) Rtrois = eval(input('et la resistance R3 du troisieme point (en ohms) : ')) # calculs en kelvins Tun = Tun + 273.15 Tdeux = Tdeux + 273.15 Ttrois = Ttrois + 273.15 # changement de variables Yun = 1/Tun Ydeux = 1/Tdeux Ytrois = 1/Ttrois Lun = ln (Run) Ldeux = ln (Rdeux) Ltrois = ln (Rtrois) # calculs intermediaires a = (Ldeux-Ltrois)/(Lun-Ldeux)*(pow (Ldeux,3) - pow (Lun,3)) + (pow (Ldeux,3) - pow (Ltrois,3)) b = Ydeux - Ytrois - ((Ldeux-Ltrois)/(Lun-Ldeux))*(Yun-Ydeux) # calculs de A, B et C C = b / a B = (1/(Lun-Ldeux))*(Yun-Ydeux-C*(pow(Lun,3) - pow(Ldeux,3))) A = Yun - B*Lun - C*pow (Lun,3) #Affichages de A, B et C print('\t ###################################################################') print('Dans l\'equation 1/T = A + B*ln R + C*(ln R)^3 on sait désormais que :') print('\t ###################################################################') print('Le coefficient A vaut ', A) print('Le coefficient B vaut ', B) print('Le coefficient C vaut ', C)

Originea relației

Numele acestei ecuații provine de la John S. Steinhart și Stanley R. Hart care au fost primii care au publicat-o. Formula a fost găsită la Carnegie Institution din Washington .

Profesorul Steinhart (1929-2003), a fost membru al Universității Madison din Wisconsin din 1969 până în 1991 [1] .

Dr. Hart, eminent om de știință de la Woods Hole Oceanographic Institution , a fost, de asemenea, membru, printre altele, al Societății Geologice din America și (în) Asociația Europeană de Geochimie .

Referințe

„Curbe de calibrare pentru termistori”, Deep Sea Res., 15 , 497-503 (1968).