Rădăcina unității modulo n

În matematică , și mai practic în teoria inelelor , un K- lea rădăcină al unității modulo n, pentru , este o rădăcină a unității în inel , soluția adică un al ecuației . Dacă este ordinea de modulo , atunci se numește primitiv k- lea rădăcină al unității modulo n . ${\ displaystyle k, n \ geq 2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} n \ mathbb {Z}}$ $X$ ${\ displaystyle x ^ {k} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}$ $k$ $X$ $nu$ $X$

Modulo n rădăcini primitive sunt -lea rădăcinile primitive ale modulo n unitate , unde este indicele Euler . $\ varphi (n)$ $\ varphi$

Rădăcini de unitate

Proprietăți

Dacă este a -a rădăcină a unității, atunci este invers invers . Cu alte cuvinte, și sunt primele între ele . $X$ $k$ $X$ ${\ displaystyle x ^ {k-1}}$ $X$ $nu$
Dacă este inversabil, atunci este o rădăcină primitivă - a unității modulo , unde este ordinea multiplicativă a modulului . $X$ $k$ $nu$ $k$ $X$ $nu$
În cazul în care este o rădăcină - lea a unității și nu este un divizor de zero , atunci . Într-adevăr $X$ $k$ ${\ displaystyle x-1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} x ^ {j} \ equiv 0 {\ pmod {n}}}$

{\ displaystyle (x-1) \ cdot \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} x ^ {j} \ equiv x ^ {k} -1 \ equiv 0 {\ pmod {n}}.}

Numărul de rădăcini k -a

Notăm numărul de - rădăcini ale modulului unității cu . Acesta satisface o serie de proprietăți: $k$ $nu$ ${\ displaystyle f (n, k)}$

${\ displaystyle f (n, 1) = 1}$ pentru . $n \ ge2$
${\ displaystyle f (n, \ lambda (n)) = \ varphi (n)}$ unde λ reprezintă indicatrix Carmichael și indicatrix Euler . $\ varphi$
${\ displaystyle n \ mapsto f (n, k)}$ este o funcție multiplicativă .
${\ displaystyle k \ mid l \ implică f (n, k) \ mid f (n, l)}$
${\ displaystyle f (n, \ mathrm {ppcm} (a, b)) = \ mathrm {ppcm} (f (n, a), f (n, b))}$ unde denotă cel mai mic multiplu comun . $\ mathrm {ppcm}$
Pentru prima , . Relația dintre to nu este cunoscută cu exactitate. Dacă ar fi fost, atunci cu punctul anterior, ar oferi o modalitate de a evalua rapid. $p$ ${\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N} \ \ există j \ in \ mathbb {N} \ f (n, p ^ {i}) = p ^ {j}}$ $eu$ $j$ $f$

Rădăcini primitive ale unității

Proprietăți

Exponentul maxim pentru un modulo de rădăcină primitiv este , unde denotă manechinul Carmichael . nu{\ displaystyle n} $nu$ λ(nu){\ displaystyle \ lambda (n)} ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ λ{\ displaystyle \ lambda} $\ lambda$
- Fiecare divizor al lui dă o primă-a rădăcină a unității. Într-adevăr, dacă se împarte și o rădăcină a unității (care trebuie să existe prin definiția lui λ), atunci se potrivește. $k$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ $k$ $k$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ $X$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ ${\ displaystyle x ^ {\ lambda (n) / k}}$
Dacă este a -a rădăcină a unității primitive care este, de asemenea, a ℓ-a rădăcină a unității (nu neapărat primitivă), atunci împărțiți ℓ. $X$ $k$ $k$

Numărul de rădăcini k- primitive

Notăm numărul de k -th rădăcini primitive ale unității modulo n cu . Această funcție îndeplinește următoarele proprietăți: ${\ displaystyle g (n, k)}$

${\ displaystyle g (n, k) = {\ begin {cases}> 0 & {\ text {si}} k \ mid \ lambda (n), \\ 0 & {\ text {else}}. \ end { cazuri}}}$
Prin urmare, funcția are valori diferite de zero, unde este numărul divizorilor . ${\ displaystyle k \ mapsto g (n, k)}$ ${\ displaystyle \ tau (\ lambda (n))}$ $\ tau$
${\ displaystyle g (n, 1) = 1}$
${\ displaystyle g (4,2) = 1}$
${\ displaystyle g (2 ^ {n}, 2) = 3}$ pentru că, din moment ce -1 este întotdeauna o rădăcină pătrată de 1. $n \ geq 3$
${\ displaystyle g (2 ^ {n}, 2 ^ {k}) = 2 ^ {k}}$ pentru . ${\ displaystyle k \ in [\! [2, n-1] \!]}$
${\ displaystyle g (n, 2) = 1}$ către și după A033948 din OEIS . $n \ geq 3$ $nu$
${\ displaystyle \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}} g (n, k) = f (n, \ lambda (n)) = \ varphi (n)}$ .
Legătura dintre și poate fi scris elegant folosind o convoluție Dirichlet : $f$ $g$

{\ displaystyle f = \ mathbf {1} * g}

, adică

{\ displaystyle f (n, k) = \ sum _ {d \ mid k} g (n, d)}

Referințe

(ro) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Root of unitate modulo n ” ( vezi lista autorilor ) .

Finch, Martin și Sebah, „ Roots of unitate and nulity modulo n ”, Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 138, nr . 8, 2010, p. 2729–2743 ( DOI 10.1090 / s0002-9939-10-10341-4 , citit online , accesat la 20 februarie 2011 )