Cvadrupol electrostatic
În electrostatică , un quadrupol reprezintă o distribuție a sarcinilor astfel încât baricentrele sarcinilor pozitive și cele negative sunt aceleași.
Analiza cvadrupolică
Fie o distribuție a sarcinilor în puncte . Această distribuție cu suport compact creează un potențial la o distanță mare de sarcini (pentru , cu lungimea caracteristică a distribuției) .
(D){\ displaystyle ({\ mathcal {D}})}qeu{\ displaystyle q_ {i}}Peu{\ displaystyle P_ {i}}(D){\ displaystyle ({\ mathcal {D}})}r≫la{\ displaystyle r \ gg a}la{\ displaystyle a}V1(r){\ displaystyle V_ {1} (r)}
Definim:
- reu→=OPeu→{\ displaystyle {\ vec {r_ {i}}} = {\ vec {OP_ {i}}}}
-
q=∑euqeu{\ displaystyle q = \ sum _ {i} q_ {i}} suma taxelor
-
p→(O)=∑euqeureu→{\ displaystyle {\ vec {p}} (O) = \ sum _ {i} q_ {i} {\ vec {r_ {i}}}}, independent de if , nul dacă este ales baricentrul taxelorO{\ displaystyle O}q=0{\ displaystyle q = 0}O{\ displaystyle O}
-
JO=∑euqeureu2{\ displaystyle J_ {O} = \ sum _ {i} q_ {i} r_ {i} ^ {2}}, momentul de inerție față de O{\ displaystyle O}
-
J^(X→)=∑euqeureu→∧(X→∧reu→){\ displaystyle {\ hat {J}} ({\ vec {X}}) = \ sum _ {i} q_ {i} {\ vec {r_ {i}}} \ wedge ({\ vec {X}} \ wedge {\ vec {r_ {i}}})}}, operatorul liniar de inerție în comparație cu O{\ displaystyle O}
-
Î^=2JoX-3J^X{\ displaystyle {\ hat {Q}} = 2J_ {o} X-3 {\ hat {J}} X}, operatorul liniar cvadrupolar în O{\ displaystyle O}
Se poate verifica dacă este nici o urmă: .
Î^{\ displaystyle {\ hat {Q}}}Tr Î^=0{\ displaystyle {\ textrm {Tr}} \ {\ hat {Q}} = 0}
În cazul unei distribuții continue a sarcinii, expresia componentei tensorului cvadrupolar este
Îeuj{\ displaystyle Q_ {ij}}
Îeuj=∫ρ(3reurj-‖r‖2δeuj)d3r→{\ displaystyle Q_ {ij} = \ int \ rho \ left (3r_ {i} r_ {j} - \ | r \ | ^ {2} \ delta _ {ij} \ right) {\ textrm {d}} ^ {3} {\ vec {r}}}, unde este simbolul Kronecker .
δeuj{\ displaystyle \ delta _ {ij}}
Dezvoltare quadrupolară
Teorema:
V1(r→)=14πϵ0(qr+p→⋅tu→r2+tu→⋅(Î^tu→)2r3)+o(1r3){\ displaystyle V_ {1} ({\ vec {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {r}} + { \ frac {{\ vec {p}} \ cdot {\ vec {u}}} {r ^ {2}}} + {\ frac {{{\ vec {u}} \ cdot \ left ({\ hat { Q}} {\ vec {u}} \ right)} {2r ^ {3}}} \ right) + o \ left ({\ frac {1} {r ^ {3}}} \ right)}, cu tu→=r→r{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ frac {\ vec {r}} {r}}}
În gravimetrie, această teoremă se numește formula lui MacCullagh .
Caz special: axă de simetrie
Când are o simetrie a revoluției, expresiile momentului cvadrupolar sunt simplificate și sunt diagonale.
(D){\ displaystyle ({\ mathcal {D}})}Î^{\ displaystyle {\ hat {Q}}}
Dacă presupunem simetria în jurul axei , atunci matricea momentului este și .
(Oz){\ displaystyle (Oz)}ÎX,X=Îy,y=-Îo/2{\ displaystyle Q_ {x, x} = Q_ {y, y} = - Q_ {o} / 2}Îz,z=Îo{\ displaystyle Q_ {z, z} = Q_ {o}}
Dacă nu este zero, alegem en și apoi:
q{\ displaystyle q}O{\ displaystyle O}G{\ displaystyle G}
V1(r→)=14πϵ0(qr+Îo2r3⋅P2(vs.osθ))+o(1r3){\ displaystyle V_ {1} ({\ vec {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {r}} + { \ frac {Q_ {o}} {2r ^ {3}}} \ cdot P_ {2} (cos \ theta) \ right) + o \ left ({\ frac {1} {r ^ {3}}} \ dreapta)}Cu ( polinomul 3 e Legendre ).
P2(X)=3X2-12{\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}
Această teoremă este valabilă în gravimetrie pentru presupusul Pământ rotitor. În acest caz, <0; folosirea este să pozezi .
Îo=2(LA-VS){\ displaystyle Q_ {o} = 2 (AC)}J2=VS-LAMla2=1,08263×10-3{\ displaystyle J_ {2} = {\ frac {CA} {Ma ^ {2}}} = 1,08263 \ times 10 ^ {- 3}}
Potențialul pământului este așa .
V(M)=-GMr+GMlaJ2P2(vs.osθ)r3{\ displaystyle V (M) = - {\ frac {GM} {r}} + {\ frac {GMaJ_ {2} P_ {2} (cos \ theta)} {r ^ {3}}}}
Această dezvoltare poate fi împinsă mai departe (dezvoltare în armonici sferice; termeni în (octupolar) etc.).
J4{\ displaystyle J_ {4}}J6{\ displaystyle J_ {6}}
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">