Pseudosfera
În geometrie , termenul pseudosferă este folosit pentru a descrie diferite suprafețe a căror curbură gaussiană este constantă și negativă. În funcție de context, se poate referi fie la o suprafață teoretică de curbură negativă (o varietate riemanniană ), fie la o suprafață a spațiului realizată eficient, cum ar fi un tractricoid.
Pseudosfere teoretice
În sensul său cel mai general, o pseudosferă de rază R este o suprafață ( completă și pur și simplu conectată ) de curbură totală în orice punct egal cu −1 ⁄ R 2 , prin analogie cu sfera de rază R a cărei curbură este 1 ⁄ R 2 . Termenul a fost introdus de Eugenio Beltrami în 1868 în articolul său despre un model de geometrie hiperbolică .
Tractricoid
Termenul este, de asemenea, utilizat pentru a desemna o suprafață numită "tractricoid"; este rezultatul revoluției unui tractor de -a lungul asimptotei sale . Un exemplu al acestui tip de obiect este pseudosfera (pe jumătate) (de rază 1) generată de suprafața de rotație a unui tractor parametrizată de
t↦(t-tanh(t),1cosh(t)),0≤t<∞.{\ displaystyle t \ mapsto \ left (t- \ tanh ({t}), {\ frac {1} {\ cosh (t)}} \ right), \ quad \ quad 0 \ leq t <\ infty.}Această suprafață prezintă o singularitate la „ecuator”, dar în afara acesteia are o curbură negativă constantă și, prin urmare, este izometrică local la un plan hiperbolic .
Numele de „pseudosferă” i se dă prin analogie cu sfera. Este de fapt o suprafață de curbură constantă negativă, în timp ce sfera este o suprafață de curbură constantă pozitivă.
La începutul anilor 1639, Christian Huygens a demonstrat că volumul și suprafața pseudosferei sunt finite, în ciuda extinderii infinite a suprafeței de-a lungul axei sale de rotație. Pentru o rază dată R , aria este , ca și pentru sferă, în timp ce volumul este , adică jumătate din volumul unei sfere cu aceeași rază.
4πR2{\ displaystyle 4 \ pi R ^ {2}}23πR3{\ displaystyle {2 \ over 3} \ pi R ^ {3}}
Vezi și tu
Note și referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din
limba engleză intitulat
„ Pseudosphere ” ( vezi lista autorilor ) .
-
(it) Eugenio Beltrami , " Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea " , Gior. Catarg. , vol. 6,1868, p. 248–312. A se vedea, de asemenea, de același autor: (it) Opere Matematiche , vol. 1, 374-405 p. ( ISBN 978-1-4181-8434-6 și 1-4181-8434-9 )și
„ O încercare de interpretare a geometriei neuclidiene ”, Ann. Școala Normală. Cina. 6 ,1869, p. 251–288 ( citește online ).
-
(în) Francis Bonahon , Geometrie de dimensiuni reduse: de la suprafețele euclidiene la nodurile hiperbolice , librăria AMS2009, 384 p. ( ISBN 978-0-8218-4816-6 și 0-8218-4816-X , citit online ) , cap. 5, p. 108
-
Olvi L. Mangasarian și Jong-Shi Pang , Computational optimization: a tribute to Olvi Mangasarian, Volumul 1 , Springer,1999( ISBN 0-7923-8480-6 , citit online ) , cap. 17, p. 324
-
François Le Lionnais , Great Currents of Mathematical Thought , vol. II, Matematica în arte și științe, publicațiile Courier Dover,2004( ISBN 0-486-49579-5 , citit online ) , „40”, p. 154
-
(în) Eric W. Weisstein , „ pseudosferă ” pe MathWorld
linkuri externe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">