Pseudo-dovada egalității între numere

Termenul de pseudo-dovadă a egalității se referă la corectitudinea aparentă a dovezilor de egalitate care sunt în mod evident false.

Vom fi mulțumiți aici să analizăm cazul egalității între numere și vom detalia diverse vicii dintre cele mai răspândite care duc la aceste erori . Metodele propuse în acest articol sunt, de asemenea, destinate să fie cele mai comune, cele mai informative și, pe cât posibil, cele mai directe.

Pseudo-demonstrație prin identități remarcabile și împărțirea la zero

Principiu

Această pseudo-demonstrație se bazează pe următoarea eroare:

Deduceți din asta .0×la=0×b{\ displaystyle 0 \ times a = 0 \ times b}la=b{\ displaystyle a = b}

În general, se desfășoară în două etape:

• formează printr-o identitate remarcabilă un produs în cei doi membri ai unei egalități a cărui unul dintre factori este zero;
• printr-o divizare la zero obține un rezultat absurd.

Rețineți că, în funcție de identitatea remarcabilă utilizată și de modul în care se procedează, se poate obține orice egalitate falsă.

Jocul constă în principal în ascunderea diviziunii la zero în operațiuni foarte complicate care implică un număr mare de necunoscute, ceea ce face dificilă identificarea liniei greșite în demonstrație.

Această tehnică este utilizată în special pentru a „demonstra” că 1 + 1 = 3 în Enciclopedia cunoștințelor relative și absolute de Bernard Werber .

Exemplu

Exemplu

Pasul 1 :

• Fie a și b două reale diferite de zero, stabilim la=b{\ displaystyle a = b}.
• Înmulțim fiecare membru cu  :la{\ displaystyle a} la2=la×b{\ displaystyle a ^ {2} = a \ times b}.
• Scădem  :b2{\ displaystyle b ^ {2}} la2-b2=la×b-b2{\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = a \ times bb ^ {2}}.
• Luăm în calcul fiecare membru (în primul folosim o identitate remarcabilă): (la-b)×(la+b)=b×(la-b){\ displaystyle (ab) \ times (a + b) = b \ times (ab)}.

Al doilea pas:

• Împărțim la  :(la-b){\ displaystyle (ab)} la+b=b{\ displaystyle a + b = b}.
• De asemenea , înlocuim cu  :la=b{\ displaystyle a = b}la{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b} b+b=b{\ displaystyle b + b = b},
• este 2×b=1×b{\ displaystyle 2 \ times b = 1 \ times b}.
• Împărțim la  :b{\ displaystyle b} 2=1{\ displaystyle 2 = 1}.

Eroarea se face atunci când vom efectua divizia de , pentru că așa cum atunci , prin urmare , suntem împărțirea la 0 ceea ce este imposibil. (la-b){\ displaystyle (ab)}la=b{\ displaystyle a = b}la-b=0{\ displaystyle ab = 0}

  Varianta fără identitate remarcabilă

• Începem cu următoarea propunere:2=1+1{\ displaystyle 2 = 1 + 1}
• Înmulțim fiecare membru cu  :(2-1){\ displaystyle (2-1)} 2(2-1)=(1+1)(2-1){\ displaystyle 2 (2-1) = (1 + 1) (2-1)}.
• Dezvoltăm: 2×2-2×1=2×1+2×1-1×1-1×1{\ displaystyle 2 \ times 2-2 \ times 1 = 2 \ times 1 + 2 \ times 1-1 \ times 1-1 \ times 1}.
• Scoatem din fiecare membru:2×1{\ displaystyle 2 \ times 1} 2×2-2×1-2×1=2×1-1×1-1×1{\ displaystyle 2 \ times 2-2 \ times 1-2 \ times 1 = 2 \ times 1-1 \ times 1-1 \ times 1}.
• Factorizăm: 2×(2-1-1)=1×(2-1-1){\ displaystyle 2 \ times (2-1-1) = 1 \ times (2-1-1)}.
• Putem simplifica și obținem: 2=1{\ displaystyle 2 = 1}.
• Trebuie doar să adăugați pentru a avea în cele din urmă:1{\ displaystyle 1} 3=1+1{\ displaystyle 3 = 1 + 1}.

Soluție: Când simplificăm cu , facem:(2-1-1){\ displaystyle (2-1-1)}2×(2-1-1)(2-1-1)=1×(2-1-1)(2-1-1){\ displaystyle {\ frac {2 \ times (2-1-1)} {(2-1-1)}} = {\ frac {1 \ times (2-1-1)} {(2-1- 1)}}}deci împărțim la 2-1-1 adică cu 0.  

Pseudo-dovada prin ecuații și confuzie între condiția necesară și suficientă

Principiu

O altă pseudo-dovadă obișnuită este restrângerea setului de soluții posibile ale unei ecuații și apoi afirmarea că unul dintre elementele setului este rădăcină.

Are loc după cum urmează:

• studiul ecuației (restricționarea setului de soluții posibile la un număr mic, una sau două);
• afirmarea setului de soluții posibile ca ansamblu de soluții;
• testul uneia dintre presupusele rădăcini și rezultatul absurd.

Exemplu

Exemplu

Pasul 1 :

Luați în considerare ecuația:

X2+X+1=0{\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0}.

Soluțiile sale sunt, de asemenea, cele (cu excepția zero) din:

X(X2+X+1)=0⇔X3+X2+X=0⇔X3=-X2-X{\ displaystyle x (x ^ {2} + x + 1) = 0 \ Leftrightarrow x ^ {3} + x ^ {2} + x = 0 \ Leftrightarrow x ^ {3} = - x ^ {2} -x } .

Cu toate acestea, conform ecuației inițiale:

X2+X+1=0⇔X2=-X-1{\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0 \ Leftrightarrow x ^ {2} = - x-1}

prin urmare:

X3=-(-X-1)-X=1{\ displaystyle x ^ {3} = - (- x-1) -x = 1}.

Pasul 2: singura rădăcină reală posibilă este 1.

Pasul 3: Prin înlocuirea lui x cu 1 în ecuația inițială, obținem egalitatea . 3=0{\ displaystyle 3 = 0}

 

Pseudo-dovadă prin rădăcini pătrate nedefinite

Principiu

Aceasta este eroarea obișnuită de a deduce din aceasta , implicația corectă fiind de a deduce din aceea , unde | x | este valoarea absolută a lui x. la2=b2{\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}}la=b{\ displaystyle a = b}la2=b2{\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}}|la|=|b|{\ displaystyle | a | = | b |}

Doi pasi :

• scrie o adevărată egalitate între pătrate;
• aplicați implicația falsă scriind egalitatea fără pătrate (invocând o funcție rădăcină pătrată nedefinită, de exemplu în ).VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

Putem generaliza acest principiu la exponențiale complexe invocând o funcție logaritmică nedefinită în setul de lucru, de exemplu . Rădăcinile pătrate sunt scrise în ultimul set . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=±|z|exp⁡(euarg⁡z2){\ displaystyle {\ sqrt {z}} = \ pm {\ sqrt {| z |}} \ exp \ left (i {\ tfrac {\ arg z} {2}} \ right)}

Exemple

Exemplu

Pasul 1 :

Luați în considerare egalitatea , care poate fi scrisă sub formă de coeficienți  : -1=-1{\ displaystyle -1 = -1}

1-1=-11{\ displaystyle {\ frac {1} {- 1}} = {\ frac {-1} {1}}}.

Aur (vezi numărul imaginar ), prin urmare -1=eu2{\ displaystyle -1 = i ^ {2}}

1eu2=eu21{\ displaystyle {\ frac {1} {i ^ {2}}} = {\ frac {i ^ {2}} {1}}}.

Al doilea pas:

Luăm rădăcina pătrată a ambelor părți, care dă:

1eu2=eu21⇔1eu2=eu21⇔1eu=eu1{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1} {i ^ {2}}}} = {\ sqrt {\ frac {i ^ {2}} {1}}} \ Leftrightarrow {\ frac {\ sqrt {1 }} {\ sqrt {i ^ {2}}}} = {\ frac {\ sqrt {i ^ {2}}} {\ sqrt {1}}} \ Leftrightarrow {\ frac {1} {i}} = {\ frac {i} {1}}}.

Înmulțind cu i pe ambele părți, obținem

1=eu2{\ displaystyle 1 = i ^ {2}}.

Și de atunci , atunci avem eu2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}

1=-1{\ displaystyle 1 = -1}.   Exemplu de anexă (printr-un logaritm ) ln⁡(-1)+ln⁡(-1)=ln⁡((-1)2)=ln⁡(1)=0{\ displaystyle \ ln (-1) + \ ln (-1) = \ ln ((- 1) ^ {2}) = \ ln (1) = 0}

Asa de,

ln⁡(-1)=ln⁡(eu2)=2⋅ln⁡(eu)=0⇒eln⁡(eu)=e0(=1){\ displaystyle \ ln (-1) = \ ln (i ^ {2}) = 2 \ cdot \ ln (i) = 0 \ Rightarrow e ^ {\ ln (i)} = e ^ {0} (= 1 )}}

Și întrucât exponențialul este aplicarea reciprocă a logaritmului natural  :

eu=1{\ displaystyle i = 1}  

Pseudo-dovada prin însumare fuzzy

Principiu

Scriind o sumă într-un mod neclar , adică nu într-un mod formal:

S=∑k=1nuk{\ displaystyle S = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k}

dar cu puncte de suspendare:

S=1+...+nu{\ displaystyle S = 1 + \ ldots + n}

variabila de însumare fictivă (menționată aici ) este într-adevăr trecută în tăcere și lipsa de formalism a punctelor de suspendare servește pentru a masca eroarea. k{\ displaystyle k}

Metodologie:

• faceți calcule pe o sumă;
• generați o eroare prin setul de definiție al variabilei fictive, cu alte cuvinte numărul de termeni;
• rezultând un rezultat absurd.

Variante

Varianta prin bypass

Derivarea va fi realizată în mod diferit , în funcție de membru al egalității, în stânga va fi o chestiune de o derivare corectă, iar pe o derivație dreapta , fără a lua în considerare faptul că variabila x este , de asemenea, cardinal al setului de termeni.

Pasul 1: Fie un număr întreg. Prin definiția funcției pătrate: X{\ displaystyle x}

X2=X+⋯+X{\ displaystyle x ^ {2} = x + \ cdots + x}( termeni)X{\ displaystyle x}

Pasul 2: Derivați cu privire la  : X{\ displaystyle x}

2X=1+⋯+1{\ displaystyle 2x = 1 + \ cdots +1}( termeni),X{\ displaystyle x}

Pasul 3: prin urmare, simplificarea prin  : X{\ displaystyle x}

2=1{\ displaystyle 2 = 1}   Varianta printr-o secvență aritmetică

Această variantă se joacă pe suma primilor termeni ai secvenței aritmetice a numerelor întregi. nu{\ displaystyle n}

Pasul 1 :

Suma primelor numere întregi este scrisă: nu{\ displaystyle n}

∀nu∈NU1+2+3+⋯+nu=nu(nu+1)2{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad 1 + 2 + 3 + \ dots + n = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

Acest lucru este valabil și la rang  : nu-1{\ displaystyle n-1}

∀(nu-1)∈NU1+2+3+⋯+nu-1=(nu-1)nu2{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad 1 + 2 + 3 + \ dots + n-1 = {\ frac {(n-1) n} {2}}}

Prin urmare, adăugând în fiecare membru: 1{\ displaystyle 1}

∀(nu-1)∈NU1+2+3+⋯+nu-1+1=(nu-1)nu2+1{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad 1 + 2 + 3 + \ dots + n-1 + 1 = {\ frac {(n-1) n} {2}} + 1}

Al doilea pas:

Această egalitate poate fi scrisă și:

∀(nu-1)∈NU1+2+3+⋯+nu=(nu-1)nu+22{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad 1 + 2 + 3 + \ dots + n = {\ frac {(n-1) n + 2} {2}}}.

În conformitate cu egalitatea de rang , avem, prin urmare,: nu{\ displaystyle n}

∀(nu-1)∈NU[nu(nu+1)2=(nu-1)nu+22⇔nu(nu+1)=(nu-1)nu+2]{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad \ left [{\ frac {n (n + 1)} {2}} = {\ frac {(n-1) n + 2 } {2}} \ Leftrightarrow n (n + 1) = (n-1) n + 2 \ dreapta]}

de unde :

∀(nu-1)∈NU[nu2+nu=nu2-nu+2⇔2nu=2]{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ quad \ left [n ^ {2} + n = n ^ {2} -n + 2 \ Leftrightarrow 2n = 2 \ right]}

Pasul 3:

In cele din urma:

∀nu∈NU∗nu=1{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad n = 1}.

Eroarea vine din faptul că confundăm sumele și . ∑k=1nuk{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k}∑k=1nu-1k+1{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} k + 1}

 

Pseudo-demonstrație prin schimbarea variabilei ilegale în timpul integrării

Principiu

Când cineva efectuează o schimbare de variabilă în timpul o integrare pe un segment, este suficient ca schimbarea de variabilă este un C 1 - Difeomorfism . Dacă schimbarea variabilei se efectuează prea repede, nu este rar să se găsească un rezultat absurd la sfârșitul integrării.

Pași:

• calculați corect integralul;
• efectuați o modificare eronată a variabilei;
• comparați cele două rezultate.

Exemplu

Exemplu

Pasul 1 :

Luați în considerare integralul:

∫-11t2dt{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} t ^ {2} \; {\ rm {d}} t}.

Prin integrare ca monom de gradul II:

∫-11t2dt=[t33]-11=23{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} t ^ {2} \; {\ rm {d}} t = \ left [{\ frac {t ^ {3}} {3}} \ right] _ {- 1} ^ {1} = {\ frac {2} {3}}}.

Al doilea pas:

Să efectuăm schimbarea variabilei de clasă (dar care nu este un -diffeomorphism): VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}

tu=t2⇒dtu=2tdt{\ displaystyle u = t ^ {2} \ Rightarrow {\ rm {d}} u = 2t \, {\ rm {d}} t}.

Asa de :

{t=-1⇒tu=1t=1⇒tu=1{\ displaystyle {\ begin {cases} t = -1 \ Rightarrow u = 1 \\ t = 1 \ Rightarrow u = 1 \ end {cases}}}

de unde :

∫-11t2dt=12∫11tudtu=0{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} t ^ {2} {\ rm {d}} t = {\ frac {1} {2}} \ int _ {1} ^ {1} {\ sqrt {u}} {\ rm {d}} u = 0}.

Pasul 3:

Din cele două calcule ale integralei deducem:

23=0{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = 0}  

Articole similare

• 2 + 2 = 5
• Paradoxurile lui Zenon

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">