Problema pătratului înscris

Problema pătrată înscrisă , cunoscută și sub numele de conjectura Toeplitz , este o problemă deschisă în geometrie . Această problemă este enunțată după cum urmează:

Oare o curbă simplă închisă (numită și curbă Jordan ) admite un pătrat înscris?

Formulată de Otto Toeplitz în 1911 și, în ciuda multor progrese, această problemă este încă nerezolvată până în prezent.

Starea cercetării

• Primul avans major vine de la Arnold Emch, care în 1913 a dovedit rezultatul pentru orice curbă convexă .
• În 1929, Lev Schnirelmann a extins acest rezultat la curbe de două ori diferențiate și astfel încât a doua derivată este continuă. Dovadă care a fost studiată în 1965 de Heinrich Guggenheimer, care a adăugat și corectat câteva puncte tehnice.
• În 1950, Ogilvy a publicat dovada problemei generale fără nicio condiție. Cu toate acestea, această dovadă se va dovedi falsă.
• În 1989, Walter Stromquist a demonstrat că orice curbă monotonă locală admite cel puțin un pătrat înscris. Cu excepția curbelor fractale și a altor câteva curbe, toate curbele sunt incluse în această teoremă. Acest rezultat important demonstrează că orice curbă pe care s-ar putea trage cu hârtie și creion admite un pătrat înscris.

O metodă pentru a construi pătratul înscris al oricărei curbe ar fi:

• • Aproximează această curbă printr-o serie de curbe monotonice local.
  • Folosiți rezultatul Stromquist pentru a obține un pătrat înscris în fiecare iterație.
  • Ia limita seriei de pătrate.

Singura problemă cu această metodă este că nu se poate garanta că pătratul obținut nu este degenerat (cu latura de lungime zero).

• În 1995, Nielsen și Wright demonstrează că orice curbă care admite un centru de simetrie admite cel puțin un pătrat înscris. Acest lucru face posibilă demonstrarea conjecturii Toeplitz pentru un număr și mai mare de curbe care nu sunt incluse în teorema Stromquist, cum ar fi curbele fractale simetrice. De exemplu, fulgul Koch , care nu este monoton local, dar admite un centru de simetrie, are deci cel puțin un pătrat inscripționat.

Variante și generalizări

S-a dovedit în 1980 că orice curbă Jordan C admite un triunghi inscripționat similar cu un triunghi dat T și există o metodă pentru a-l găsi. Acest rezultat a fost finalizat în 1992, specificând că setul de vârfuri ale triunghiurilor similare cu T și inscripționate în C este dens în C.
Dacă în loc de pătrat, considerăm de data aceasta dreptunghi inscripționat, rezultatul a fost demonstrat în general de Herbert Vaughan în 1977.

linkuri externe

• Un pătrat într-o curbă de Étienne Ghys , pe site-ul images des Maths
• (ro) Mark J. Nielsen, Figurile înscrise în curbe. Un scurt tur al unei vechi probleme
• (ro) Igor Pak, The discrete square peg problem
• (fr) O demonstrație vizuală a problemei dreptunghiului inscripționat
• (fr) Câteva abordări ale problemei pe blogul lui Terence Tao

Referințe

1. Toeplitz, Oscar: Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p.  197 .
2. Emch, Arnold: Câteva proprietăți ale curbelor convexe închise într-un plan. Amar. J. Math. 35 (1913), nr. 4, p.  407–412 .
3. LG Shnirelman , Despre anumite proprietăți geometrice ale curbelor închise (în rusă) Uspehi Matem. Nauk 10, (1944) p.  34-44 .
4. Guggenheimer, Heinrich: seturi finite pe curbe și suprafețe. Israel J. Math. 3 (1965) p.  104-112 .
5. Ogilvy, CS: Probleme și soluții avansate: 4325, Amer. Matematica. Lunar 57 (1950), nr. 6, 423–424
6. Stromquist, Walter: pătrate inscripționate și patrulatere pătrate în curbe închise. Mathematika 36 (1989), nr. 2, p.  187–197 .
7. Mark J. Nielsen și SE Wright, Dreptunghiuri inscripționate în continuă simetrică, Geometriae Dedicata 56: 285-297 (1995)
8. Mark D. Meyerson, Triunghiuri echilaterale și curbe continue, Fond. Matematica. 110: 1-9 (1980).
9. Mark J. Nielsen, Triunghiuri inscripționate în curbe închise simple, Geometriae Dedicata 43: 291-297 (1992).
10. Vaughan H., Balancing actes, Topology Proceedings. 6: 59-75 (1981) de Mark D. Meyerson