Polinomul lui Chebyshev
În matematică , un polinom Chebyshev este un termen al uneia dintre cele două serii de polinoame ortogonale particulare legate de formula lui Moivre . De polinoame Chebyshev sunt numite în onoarea matematicianului rus Pafnouti Lvovich Cebîșev .
Există două serii de polinoame Chebyshev, una numită polinomii Chebyshev de primul fel și notată T n și cealaltă numită polinomii Chebyshev de al doilea fel și notată U n (în ambele cazuri, numărul natural n corespunde gradului ).
Aceste două secvențe pot fi definite prin relația de recurență :
∀nu∈NUPnu+2=2X Pnu+1-Pnu{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad P_ {n + 2} = 2X ~ P_ {n + 1} -P_ {n}}și primii doi termeni:
T0=1, T1=X pentru restul T{\ displaystyle T_ {0} = 1, ~ T_ {1} = X {\ text {pentru mai multe}} T} și
U0=1, U1=2X pentru restul U{\ displaystyle U_ {0} = 1, ~ U_ {1} = 2X {\ text {pentru mai multe}} U}.
Fiecare este o secvență de polinoame ortogonale în raport cu un produs punct de funcții, asociat cu greutatea funcției de pe [–1, 1] . Aceste polinoame constituie un caz special de polinoame ultrasferice .
w(X)=(1-X2)-1/2{\ displaystyle w (x) = \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {- 1/2}}
O definiție alternativă a acestor polinoame poate fi dată de relațiile trigonometrice :
Tnu(cosθ)=cos(nuθ),este :Tnu(X)=cos(nuarccosX)șiUnu(cosθ)=păcat((nu+1)θ)păcatθ{\ displaystyle T_ {n} \ left (\ cos \ theta \ right) = \ cos \ left (n \ theta \ right), \ quad {\ text {fie:}} \ quad T_ {n} (x) = \ cos \ left (n \ arccos x \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad U_ {n} \ left (\ cos \ theta \ right) = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) \ theta \ right)} {\ sin \ theta}}},
ceea ce echivalează, de exemplu, cu considerarea lui T n (cos θ ) ca dezvoltare a cos ( nθ ) sub forma unui polinom în cos θ .
Spre deosebire de alte familii de polinoame ortogonale, precum cele din Legendre , Hermite sau Laguerre , polinoamele Tchebychev nu au practic nicio aplicație directă în fizică. Pe de altă parte, acestea sunt deosebit de utile în analiza numerică pentru interpolarea polinomială a funcțiilor. În primul rând, în ceea ce privește alegerea punctelor de interpolare, cum ar fi zerourile lui T n ( x ) sau abscisele Chebyshev, pentru a limita fenomenul Runge . De asemenea, ele sunt o bază alternativă de polinoame în raport cu canonică bază X n dintre cele polinoame Lagrange , care îmbunătățește în mod semnificativ de convergență. Acestea sunt utilizate în special pentru calcularea efemeridei astrononomiceR[X]{\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}
Polinoame Chebyshev de primul fel
Există mai multe posibilități de a defini această familie de polinoame. Cea mai simplă este prin relația de recurență, care permite generarea rapidă a expresiei diferitelor polinoame. Cu toate acestea, o astfel de definiție face dificilă stabilirea proprietăților generale ale acestor polinoame, în primul rând ortogonalitatea lor , deci trebuie luată în considerare o altă definiție, din proprietățile funcțiilor trigonometrice.
Definiție prin relația de recurență
Definiția clasică a polinoamelor Chebyshev de primul fel este dată cel mai adesea de următoarea relație de recurență:
Tnu+1=2XTnu-Tnu-1, ∀nu≥1, cu T0=1 și T1=X{\ displaystyle T_ {n + 1} = 2XT_ {n} -T_ {n-1}, \ \ \ forall n \ geq 1, \ {\ textrm {cu}} \ T_ {0} = 1 \ {\ textrm {și}} \ T_ {1} = X}.
Prin inducție, T n este un polinom de grad n .
Primele polinoame Chebyshev de primul fel sunt:
T0=1{\ displaystyle T_ {0} = 1}
T1=X{\ displaystyle T_ {1} = X}
T2=2X2-1{\ displaystyle T_ {2} = 2X ^ {2} -1}
T3=4X3-3X{\ displaystyle T_ {3} = 4X ^ {3} -3X}
T4=8X4-8X2+1{\ displaystyle T_ {4} = 8X ^ {4} -8X ^ {2} +1}
T5=16X5-20X3+5X{\ displaystyle T_ {5} = 16X ^ {5} -20X ^ {3} + 5X}
T6=32X6-48X4+18X2-1{\ displaystyle T_ {6} = 32X ^ {6} -48X ^ {4} + 18X ^ {2} -1}
T7=64X7-112X5+56X3-7X{\ displaystyle T_ {7} = 64X ^ {7} -112X ^ {5} + 56X ^ {3} -7X}
T8=128X8-256X6+160X4-32X2+1{\ displaystyle T_ {8} = 128X ^ {8} -256X ^ {6} + 160X ^ {4} -32X ^ {2} +1}
T9=256X9-576X7+432X5-120X3+9X{\ displaystyle T_ {9} = 256X ^ {9} -576X ^ {7} + 432X ^ {5} -120X ^ {3} + 9X}.
Definiție trigonometrică
Dovedim că pentru fiecare număr natural n ,
∀θ∈Rcos(nuθ)=Tnu(cosθ){\ displaystyle \ forall \ theta \ in \ mathbb {R} \ quad \ cos (n \ theta) = T_ {n} (\ cos \ theta)},
care poate servi ca o definiție alternativă a polinoamelor T n , văzute ca funcții polinoame definite pe intervalul real [–1, 1] .
Una dintre dovezi se face prin inducerea ordinului 2 , utilizând următoarea identitate trigonometrică Simpson :
cos(la+b)+cos(la-b)=2coslacosb{\ displaystyle \ cos (a + b) + \ cos (ab) = 2 \ cos a \ cos b}.
Caracterul ortogonal al polinoamelor T n decurge apoi direct din cel al funcțiilor cos ( nθ ) . Mai precis, această formulă Simpson arată în plus că polinoamele T n sunt ortogonale în raport cu funcția de greutate . Într-adevăr, pentru două numere naturale n și p și cu schimbarea variabilei x = cos θ , vine
w(X)=(1-X2)-12{\ displaystyle w (x) = \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {- {\ tfrac {1} {2}}}}
∫0πcos(nuθ)cos(pθ)dθ=∫-1+1Tnu(X)Tp(X)(1-X2)-1/2dX{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ cos (n \ theta) \ cos (p \ theta) \, \ mathrm {d} \ theta} = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} {T_ {n} (x) T_ {p} (x) \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {- 1/2} \, \ mathrm {d} x}}Apoi, folosind formula Simpson:
∫-1+1Tnu(X)Tp(X)(1-X2)-1/2dX=∫0πcos((nu+p)θ)+cos((nu-p)θ)2dθ={0dacă nu≠pπdacă nu=p=0π/2dacă nu=p≠0{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {+ 1} {T_ {n} (x) T_ {p} (x) \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {- 1/2} \, \ mathrm {d} x} = \ int _ {0} ^ {\ pi} {{\ tfrac {\ cos ((n + p) \ theta) + \ cos ((np) \ theta)} {2 }} \, \ mathrm {d} \ theta} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} n \ neq p \\\ pi & {\ text {si}} n = p = 0 \ \ \ pi / 2 & {\ text {si}} n = p \ neq 0 \ end {cases}}}.
Ecuație diferențială
Pentru toate n , funcția este soluția ecuației diferențiale liniare omogene de ordinul 2 cu coeficienți constanți :
θ↦cos(nuθ)=Tnu(cosθ){\ displaystyle \ theta \ mapsto \ cos (n \ theta) = T_ {n} (\ cos \ theta)}
y″+nu2y=0{\ displaystyle y '' + n ^ {2} y = 0}.
Prin urmare, polinoamele Chebyshev sunt soluții ale ecuației diferențiale formale :
(1-X2)Tnu″-XTnu′+nu2Tnu=0{\ displaystyle \ left (1-X ^ {2} \ right) T '' _ {n} -XT '_ {n} + n ^ {2} T_ {n} = 0}.
Acest lucru poate fi pus și sub forma unei ecuații diferențiale a lui Sturm-Liouville :
ddX((1-X2)12dTnudX)+nu2(1-X2)-12Tnu=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left (\ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} T_ {n}} {\ mathrm {d} x}} \ right) + n ^ {2} \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} T_ {n} = 0}.
Alte proprietăți
- Pentru toate numerele naturale n ,Tnu=∑k=0⌊nu2⌋(nu2k)(X2-1)kXnu-2k{\ displaystyle T_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {n} {2k}} (X ^ {2} -1) ^ {k} X ^ {n-2k}}unde este un coeficient binomial și se notează partea întreagă .(nu2k){\ displaystyle {\ binom {n} {2k}}}⌊⋅⌋{\ displaystyle \ left \ lfloor \ cdot \ right \ rfloor}
- Pentru fiecare număr întreg n pozitiv,
Tnu=nu2∑k=0⌊nu2⌋(-1)k(nu-k-1)!k!(nu-2k)!(2X)nu-2k{\ displaystyle T_ {n} = {\ frac {n} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} (- 1 ) ^ {k} {\ frac {(nk-1)!} {k! (n-2k)!}} (2X) ^ {n-2k}}.
- Pentru toate numerele naturale n ,Tnu(1)=1{\ displaystyle T_ {n} (1) = 1}.
Această proprietate este ușor demonstrată luând în considerare forma trigonometrică a lui T n , cazul x = 1 corespunzător lui θ = 0. De asemenea, avemTnu(-1)=(-1)nu{\ displaystyle T_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n}}, care ia naștere din simetrie Tnu(-X)=(-1)nuTnu(X){\ displaystyle T_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} T_ {n} (x)}.
- Oricare ar fi numerele naturale m și n ,Tnu∘Tm=Tmnu{\ displaystyle T_ {n} \ circ T_ {m} = T_ {mn}}și .2TmTnu=Tm+nu+T|m-nu|{\ displaystyle 2T_ {m} T_ {n} = T_ {m + n} + T_ {| mn |}}
- Pentru orice număr întreg n pozitiv, coeficientul dominant al lui T n este 2 n –1 și n rădăcinile sale sunt
lak(nu)=cos((2k-1)π2nu),∀k∈{1,...,nu}{\ displaystyle a_ {k} ^ {(n)} = \ cos \ left ({\ frac {(2k-1) \ pi} {2n}} \ right), \ quad \ forall k \ in \ {1, \ ldots, n \}}.
- Pentru orice număr întreg n > 0 , extremitățile lui T n în intervalul [–1, 1] sunt atinse înek(nu)=coskπnu,∀k∈{0,...,nu}{\ displaystyle e_ {k} ^ {(n)} = \ cos {\ frac {k \ pi} {n}}, \ quad \ forall k \ in \ {0, \ ldots, n \}}
(sunt –1, 1 și rădăcinile lui U n –1 ) și .
Tnu(ek(nu))=(-1)k{\ displaystyle T_ {n} (e_ {k} ^ {(n)}) = (- 1) ^ {k}}
- Paritatea depinde de n : .Tnu(-X)=(-1)nuTnu(X){\ displaystyle T_ {n} (- X) = (- 1) ^ {n} T_ {n} (X)}
- Reprezentare completă:Tnu(X)=14euπ∫VS1znu1-z2z(1-2Xz+z2)dz{\ displaystyle T_ {n} (x) = {\ frac {1} {4i \ pi}} \ int _ {C} {\ frac {1} {z ^ {n}}} {\ frac {1-z ^ {2}} {z (1-2xz + z ^ {2})}} \, \ mathrm {d} z}unde C este un contur al planului complex traversat în sens invers acelor de ceasornic , conținând zero și excluzând zerourile de 1 - 2 xz + z 2 .
-
Generarea de serii
- ordinară: ,∑nu=0∞Tnutnu=1-tX1-2tX+t2{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} t ^ {n} = {\ frac {1-tX} {1-2tX + t ^ {2}}}}
- exponențială: ∑nu=0∞Tnutnunu!=12(e(X-X2-1)t+e(X+X2-1)t),{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({ \ rm {e}} ^ {(X - {\ sqrt {X ^ {2} -1}}) t} + {\ rm {e}} ^ {(X + {\ sqrt {X ^ {2} - 1}}) t} \ right),}
-
∑nu=1∞Tnu(X)tnunu=-12ln(1-2tX+t2),{\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} T_ {n} (X) {\ frac {t ^ {n}} {n}} = - {\ frac {1} {2} } \ ln \ left (1-2tX + t ^ {2} \ right),}deosebit de relevant în teoria potențială .
Polinomii Chebyshev de al doilea fel
Definiție prin inducție
Polinoamele de al doilea tip U n pot fi definite prin aceeași relație de recurență ca cele de primul fel, cu primii termeni diferiți:
Unu+1=2XUnu-Unu-1, ∀nu≥1 cu U0=1 și U1=2X{\ displaystyle U_ {n + 1} = 2XU_ {n} -U_ {n-1}, \ \ \ forall n \ geq 1 \ {\ textrm {cu}} \ U_ {0} = 1 \ {\ textrm { și}} \ U_ {1} = 2X}.
Prin inducție, U n este un polinom de grad n .
Primele polinoame Chebyshev de al doilea fel sunt:
U0=1{\ displaystyle U_ {0} = 1}
U1=2X{\ displaystyle U_ {1} = 2X}
U2=4X2-1{\ displaystyle U_ {2} = 4X ^ {2} -1}
U3=8X3-4X{\ displaystyle U_ {3} = 8X ^ {3} -4X}
U4=16X4-12X2+1{\ displaystyle U_ {4} = 16X ^ {4} -12X ^ {2} +1}
U5=32X5-32X3+6X{\ displaystyle U_ {5} = 32X ^ {5} -32X ^ {3} + 6X}
U6=64X6-80X4+24X2-1{\ displaystyle U_ {6} = 64X ^ {6} -80X ^ {4} + 24X ^ {2} -1}
U7=128X7-192X5+80X3-8X{\ displaystyle U_ {7} = 128X ^ {7} -192X ^ {5} + 80X ^ {3} -8X}
U8=256X8-448X6+240X4-40X2+1{\ displaystyle U_ {8} = 256X ^ {8} -448X ^ {6} + 240X ^ {4} -40X ^ {2} +1}
U9=512X9-1024X7+672X5-160X3+10X{\ displaystyle U_ {9} = 512X ^ {9} -1024X ^ {7} + 672X ^ {5} -160X ^ {3} + 10X}.
Definiție trigonometrică
În același mod ca și pentru cei de primul fel, polinoamele U n pot fi definite alternativ prin forma trigonometrică a funcției lor polinomiale asociate pe ] –1; 1 [ . Arătăm că pentru toate n :
∀θ∈R∖πZpăcat((nu+1)θ)păcatθ=Unu(cosθ){\ displaystyle \ forall \ theta \ in \ mathbb {R} \ setminus \ pi \ mathbb {Z} \ quad {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) \ theta \ right)} {\ sin \ theta }} = U_ {n} (\ cos \ theta)}.
Din nou, caracterul ortogonal al polinoamelor U n rezultă direct din cel al funcțiilor . Mai precis, cum ar fi :
păcatnuθ{\ displaystyle \ sin n \ theta}2păcatlapăcatb=cos(la-b)-cos(la+b){\ displaystyle 2 \ sin a \ sin b = \ cos (ab) - \ cos (a + b)}
∫0πUp(cosθ)Unu(cosθ)păcat2(θ)dθ=∫0πpăcat((p+1)θ)păcat((nu+1)θ)dθ=0 dacă p≠nu{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {U_ {p} (\ cos \ theta) U_ {n} (\ cos \ theta) \ sin ^ {2} (\ theta) \, \ mathrm { d} \ theta} = \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ sin \ left ((p + 1) \ theta \ right) \ sin \ left ((n + 1) \ theta \ right) \, \ mathrm {d} \ theta} = 0 {\ text {si}} p \ neq n}.
Exprimând această integrală ca funcție a variabilei x = cos θ , deducem că polinoamele U n sunt ortogonale în raport cu funcția de greutate :
w(X)=(1-X2)1/2{\ displaystyle w (x) = \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {1/2}}
∫-1+1Unu(X)Up(X)(1-X2)1/2dX=0 dacă p≠nu{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {+ 1} {U_ {n} (x) U_ {p} (x) \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {1/2} \ , \ mathrm {d} x} = 0 {\ text {si}} p \ neq n}.
Ecuație diferențială
Pentru toate n , funcția este soluția ecuației diferențiale liniare omogene de ordinul 2 cu coeficienți constanți:
θ↦păcat(nuθ)=Unu-1(cosθ)păcatθ{\ displaystyle \ theta \ mapsto \ sin (n \ theta) = U_ {n-1} (\ cos \ theta) \ sin \ theta}
y″+nu2y=0{\ displaystyle y '' + n ^ {2} y = 0}.
În consecință, polinoamele Chebyshev de al doilea fel sunt soluții ale ecuației diferențiale formale:
(1-X2)Unu″-3XUnu′+nu(nu+2)Unu=0{\ displaystyle (1-X ^ {2}) U_ {n} '' - 3XU_ {n} '+ n (n + 2) U_ {n} = 0}.
Alte proprietăți
- Pentru toate numerele naturale n ,Unu=∑k=0⌊nu2⌋(nu+12k+1)(X2-1)kXnu-2k=Xnu∑k=0⌊nu2⌋(nu+12k+1)(1-X-2)k=∑k=0⌊nu2⌋(-1)k(nu-kk)(2X)nu-2k{\ displaystyle U_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {n + 1} {2k + 1} } (X ^ {2} -1) ^ {k} X ^ {n-2k} = X ^ {n} \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2} } \ right \ rfloor} {\ binom {n + 1} {2k + 1}} (1-X ^ {- 2}) ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor { \ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} (- 1) ^ {k} {\ binom {nk} {k}} (2X) ^ {n-2k}}.
- U n sunt ortogonale pentru produsul scalar asociat cu ponderarea peste intervalul [-1; 1] . Mai precis :
1-X2{\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}∫-11Unu(X)Um(X)1-X2dX={0dacă nu≠mπ/2dacă nu=m.{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} U_ {n} (x) U_ {m} (x) {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} n \ neq m \\\ pi / 2 & {\ text {si}} n = m. \ end {cases}}}
- Pentru toate numerele naturale n ,
Unu(1)=nu+1{\ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1}.
- În cazul în care , .m≥nu{\ displaystyle m \ geq n}UmUnu=∑k=0nuUm-nu+2k{\ displaystyle U_ {m} U_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} U_ {m-n + 2k}}
- Pentru fiecare număr întreg strict pozitiv n , n rădăcinile lui U n sunt
ek(nu+1)=coskπnu+1,∀k∈{1,...,nu}{\ displaystyle e_ {k} ^ {(n + 1)} = \ cos {\ frac {k \ pi} {n + 1}}, \ quad \ forall k \ in \ {1, \ ldots, n \} }.
- Paritatea depinde de n :
Unu(-X)=(-1)nuUnu(X){\ displaystyle U_ {n} (- X) = (- 1) ^ {n} U_ {n} (X)}.
- Reprezentare completă:
Unu(X)=12euπ∫VS1znu1z(1-2Xz+z2)dz{\ displaystyle U_ {n} (x) = {\ frac {1} {2i \ pi}} \ int _ {C} {\ frac {1} {z ^ {n}}} {\ frac {1} { z (1-2xz + z ^ {2})}} \, \ mathrm {d} z}unde C este un contur al planului complex traversat în sens invers acelor de ceasornic, conținând zero și excluzând zerourile de 1 - 2 xz + z 2 .
-
Seria generatorului :
∑nu=0∞Unu(X)tnu=11-2tX+t2{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} U_ {n} (X) t ^ {n} = {\ frac {1} {1-2tX + t ^ {2}}}}.
Unele relații cu alte funcții speciale
-
Tnu=Unu-XUnu-1,Tnu+1=XTnu-(1-X2)Unu-1 și Tnu′=nuUnu-1{\ displaystyle T_ {n} = U_ {n} -XU_ {n-1}, \ quad T_ {n + 1} = XT_ {n} - (1-X ^ {2}) U_ {n-1} { \ text {și}} T_ {n} '= nU_ {n-1}},
-
Tnu=nu2VSnu(0) și Unu=VSnu(1){\ displaystyle T_ {n} = {\ frac {n} {2}} C_ {n} ^ {(0)} {\ text {și}} U_ {n} = C_ {n} ^ {(1)} }
unde C( k )
nsunt polinoamele Gegenbauer și
-
Tnu(X)=F(-nu,nu;12;1-X2) și Unu(X)=(nu+1)F(-nu,nu+2;32;1-X2){\ displaystyle T_ {n} (x) = F \ left (-n, n; {\ frac {1} {2}}; {\ frac {1-x} {2}} \ right) {\ text { și}} U_ {n} (x) = (n + 1) F \ left (-n, n + 2; {\ frac {3} {2}}; {\ frac {1-x} {2}} \ dreapta)}
unde F este funcția hipergeometrică .
Istoric
Tchebychev a descoperit aceste familii în timp ce lucra la problema convergenței interpolărilor Lagrange . Putem arăta că alegând rădăcinile polinoamelor Chebyshev ca puncte de interpolare, minimizăm abaterile (cf. fenomenul Runge ). În acest context, A( n )
kindicat mai sus , posibil ajustat la un alt interval de interpolare [ a , b ] (printr-o transformare afină x ↦b - a/2x +b + a/2), se numesc abscise Chebyshev .
Într-adevăr, putem arăta că eroarea dintre funcția interpolată și polinomul de interpolare la punctele x 0 , ..., x n pe [ a , b ] este exprimată ca
maxX∈[la,b]|(X-X0)...(X-Xnu)|‖f(nu+1)‖∞,[la,b](nu+1)!{\ displaystyle \ max _ {x \ in [a, b]} \ left | (x-x_ {0}) \ dots (x-x_ {n}) \ right | {\ frac {\ | f ^ {( n + 1)} \ | _ {\ infty, [a, b]}} {(n + 1)!}}}.
Prin urmare, ideea a fost de a minimiza pentru n puncte date. Chebyshev a arătat că în cazul în care intervalul este [–1, 1] și distribuția punctelor este simetrică, polinomul optim ia valorile - L și + L alternativ și n + 1 ori exact (spunem că polinomul prezintă o alternanță a lui Chebyshev ). Această proprietate face posibilă deducerea faptului că abscisele Chebyshev sunt cele mai bune puncte de interpolare pentru a minimiza oscilațiile polinomului de interpolare și, prin urmare, pentru a obține cea mai bună convergență posibilă.
L=maxX∈[la,b]|(X-X0)...(X-Xnu)|{\ displaystyle L = \ max _ {x \ în [a, b]} \ left | (x-x_ {0}) \ dots (x-x_ {n}) \ right |}
Aplicații
Polinomii Chebyshev ne permit să demonstrăm teorema lui Weierstrass conform căreia orice funcție continuă pe un segment este limita uniformă a unei secvențe de funcții polinomiale .
Aceștia sunt, de asemenea, implicați în calculul filtrelor din electronica analogică , filtrele Chebyshev .
În cele din urmă, acestea permit o explicație teoretică a eficienței superioare a transformării discrete a cosinusului în contextul interpolației unui semnal digital eșantionat, comparativ cu alte metode, cum ar fi „zero-padding + band-pass filtering ”.
Note și referințe
Note
-
Pentru această demonstrație, precedată de o demonstrație mai directă a polinoamelor Chebyshev de primul și al doilea fel, folosind formula lui Moivre și formula binomială , vezi de exemplu acest exercițiu corectat din lecția „Sumare” de pe Wikiversitate .
-
Soluțiile acestei ecuații formează un plan vector , ale cărui două soluții sunt evidente și constituie o bază (ortogonală).θ↦cos(nuθ){\ displaystyle \ theta \ mapsto \ cos (n \ theta)}θ↦păcat(nuθ){\ displaystyle \ theta \ mapsto \ sin (n \ theta)}
-
Vezi de exemplu acest exercițiu (deja menționat) pe Wikiversitate .
-
Este încă posibil să spunem că polinomul T n este o funcție proprie a operatorului liniar autoadjunct , pentru valoarea proprie - n 2 . Ortogonalitatea dintre polinoame rezultă din ortogonalitatea dintre funcțiile proprii ale unui operator autoadjunct corespunzător valorilor proprii distincte.(1-X2)12ddX((1-X2)12ddX){\ displaystyle \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left (\ stânga (1-x ^ {2} \ dreapta) ^ {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ right)}
-
Dacă n este egal, sin (( n +1) θ ) = U n (cos ( θ )) sin ( θ ) poate fi, prin urmare, exprimat ca polinom în sin θ
-
A se vedea, de exemplu, acest exercițiu corectat al lecției „Funcția generator” pe Wikiversitate .
Referințe
-
Vezi de exemplu (în) George B. Arfken, Mathematical Methods for Physicists , 3 e ed., Academic Press , 1985 ( ISBN 0-12-059820-5 ) , § 13.3 și § 13.4.
-
Cf. de exemplu Bureau des longitudes, Introduction aux éphemerides astronomiques , EDP Sciences , 1997 ( ISBN 2-86883-298-9 ) , p. 357 și s.
-
P. Chebyshev, Works I ( citește online ).
-
Jean-Michel Ferrard, „ Polinomii Chebyshev și teorema Weierstrass ” , Matematica în MPSI , pe mathprepa.fr .
Vezi și tu
Articole similare
Bibliografie
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">