Polinom reciproc

În matematică , polinomul reciproc al unui polinom cu coeficienți complecși

{\ displaystyle P (X) = a_ {0} + a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + \ ldots + a_ {n} X ^ {n}}

este polinomul P * definit de:

{\ displaystyle P ^ {*} (X) = {\ overline {a}} _ {n} + {\ overline {a}} _ {n-1} X + \ ldots + {\ overline {a}} _ {0} X ^ {n} ~,}

unde denotă conjugatul lui . Pentru orice nenulă complex număr z , prin urmare , avem: ${\ displaystyle {\ overline {a}}}$ $la$

{\ displaystyle P ^ {*} (z) = z ^ {n} {\ overline {P ({\ bar {z}} ^ {- 1})}} ~.}

Se spune că un polinom este reciproc atunci când este egal cu polinomul său reciproc.

Dacă coeficienții a i sunt reali , această definiție este echivalentă cu a i = a n - i . În acest caz, P este numit și polinom palindromic (en) .

Polinomul minimal asupra $\ mathbb {Q}$ unui număr algebric de modulul 1 este egal sau opus polinom reciproc.

Demonstrație

Fie un număr algebric de modulul 1 și $\ beta$

{\ displaystyle P (X) = a_ {0} + a_ {1} X + \ ldots + a_ {n-1} X ^ {n-1} + X ^ {n}}

polinomul său minim pe . Polinomul său reciproc, ${} ^ {\ mathbb {Q}}$

{\ displaystyle P ^ {*} (X) = 1 + a_ {n-1} X + \ ldots + a_ {1} X ^ {n-1} + a_ {0} X ^ {n},}

admite pentru rădăcină din moment ce $\ beta$

{\ displaystyle P ^ {*} (\ beta) = \ beta ^ {n} P (1 / \ beta) = \ beta ^ {n} P ({\ overline {\ beta}}) = \ beta ^ {n } {\ overline {P (\ beta)}} = \ beta ^ {n} .0 = 0.}

Prin urmare, există un astfel de rațional încât . În această egalitate, coeficientul dominant și termenul constant sunt: și . Deducem asta $\ lambda$ ${\ displaystyle P ^ {*} = \ lambda P}$ ${\ displaystyle a_ {0} = \ lambda}$ ${\ displaystyle 1 = \ lambda a_ {0}}$

{\ displaystyle P ^ {*} = a_ {0} P \ quad {\ text {and}} \ quad a_ {0} = \ pm 1.}

O consecință este că polinoamele ciclotomice Φ n sunt palindromice pentru n > 1; aceasta este utilizată în site-ul numărului particular pentru a calcula numerele de formă x 11 ± 1, x 13 ± 1, x 15 ± 1 și x 21 ± 1, profitând de factorii polinomiali de grade 5, 6, 4 și 6 - rețineți că indicatorul Euler al exponenților valorează 10, 12, 8 și 12.

Credit de autor

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Polinom reciproc ” (a se vedea lista autorilor ) .

Referințe

Émile Durand (1961) Soluții numerice ale ecuațiilor algebrice I, Masson și Cie: XV - polinoame ale căror coeficienți sunt simetrici sau antisimetrici, p. 140-141.