Un politop este un obiect matematic.
Termenul politop admite mai multe definiții în cadrul matematicii. În principal, deoarece utilizările diferă în câteva puncte, în funcție de țară, dar utilizarea americană tinde să se impună, ne găsim confruntați cu utilizări contradictorii în aceeași țară. Găsim acest tip de problemă pentru definițiile fețelor și fațetelor unui poliedru (pentru un poliedru de dimensiune n , Bourbaki definește fațetele ca fețe de dimensiune < n - 1, sufixul sugerând micițe, în timp ce americanii definesc o fațetă ca o față de dimensiunea n - 1, așa cum spunem în franceză pentru fațetele unui diamant ).
Punctul sigur este că un poliedru este un fel de politop.
Cea mai răspândită utilizare este că, în spațiul euclidian ℝ n , distingem poliedrul de politop după cum urmează. Poliedru este o intersecție a unui număr finit de jumătăți de spații delimitate de hiperplane afine , adică
unde și ,
în timp ce politopul este un plic convex , adică
unde pentru un număr finit de indici .
Un rezultat fundamental stabilește că:
Fiecare politop este un poliedru mărginit.
Acest rezultat este esențial pentru abordarea poliedrică în optimizarea combinatorie .
Cu toate acestea, vom găsi și următoarea distincție între politop și poliedru. Înțelegem uneori în geometrie , politopul ca generalizarea la toate dimensiunile noțiunii de poligon pentru două dimensiuni și de poliedru pentru trei dimensiuni. Cu toate acestea, în general, presupunem că un politop este un politop convex și delimitat . Cel mai simplu pe care îl putem construi este simplexul format din n + 1 vârfuri într-un spațiu de dimensiune n . Pentru orice anvelopă convexă într-un spațiu de dimensiune n , putem lua subseturi de vârfuri liniar independente și putem defini n - simple din aceste vârfuri. Este întotdeauna posibil să se descompună un politop convex în simplexuri astfel încât unirea lor să fie politopul original, iar intersecțiile lor două-la-două să fie mulțimea goală sau un s -implex (cu s < n ). De exemplu: în plan, un pătrat (învelișul convex al vârfurilor sale) este uniunea a două triunghiuri (2-simplex) a căror intersecție este diagonala pătratului (1-simplex).
Termenul politop a fost inventat de Alicia Boole Stott , fiica logicianului George Boole .
Poliedrele regulate au fost un subiect major de studiu în rândul matematicienilor antici greci (în principal Euclid ), probabil datorită calităților lor estetice. În zilele noastre, acestea se găsesc în multe aplicații de optimizare liniară sau în special în grafica computerizată .
Printre politopi, se poate menționa politopul Gosset , care ilustrează una dintre proprietățile grupului Lie E8 . Se pot menționa, de asemenea, Fabytopes, solide formate din agregate sau agregate de ciment la periferia betonierelor .
(ro) HSM Coxeter , Regular Polytopes , New York, Dover, 1973 ( ISBN 978-0-486-61480-9 )
Olivier Debarre, „ Polytopes et points whole ” , pe www.math. ens.fr
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">