Operator pseudo-diferențial
În analiza matematică , un operator pseudo-diferențial este o extensie a conceptului familiar de operator diferențial , permițând în special includerea ordinelor de derivare care nu sunt întregi . Acești operatori pseudo-diferențiali sunt folosiți pe scară largă în teoria ecuațiilor diferențiale parțiale și în teoria câmpului cuantic .
Mementouri și evaluări
Notările introduse în articolul operatorului diferențial sunt repetate mai jos .
Operator diferențial
Reamintim că un operator diferențial liniar de ordine este scris:
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
D=∑|α|=0mlaα(X)Dα{\ displaystyle {\ mathfrak {D}} = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha}}
unde , numiți coeficienți ai operatorului , sunt funcții ale variabilelor spațiale .
laα(X){\ displaystyle a _ {\ alpha} (x)}
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
nu{\ displaystyle n}
Xk,k=1,...,nu{\ displaystyle x ^ {k}, k = 1, \ dots, n}![{\ displaystyle x ^ {k}, k = 1, \ dots, n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf63167914833edc7a7def170ad42c8d3e5119f)
Introducerea transformatei Fourier
Definiție
Definim aici transformata Fourier a funcției de variabile prin:
f{\ displaystyle f}
nu{\ displaystyle n}![nu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
f^(ξ)=∫e-euξ⋅Xf(X)dX{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} f (x) \; \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} f (x) \; \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b7e8609c94a768e48b1d8aebc06bf9b600865b)
.
Formula de transformare inversă este apoi scrisă:
f(X)=1(2π)nu∫e+euξ⋅Xf^(ξ)dξ{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}![{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c3a412a4fbf46e46383006fcde60d7c72fe518)
.
Aplicare la operatori diferențiali
Simbolul operatorului diferențial de ordine este funcția de polinomiale variabilelor din :
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
m{\ displaystyle m}
σ(X,ξ){\ displaystyle \ sigma (x, \ xi)}
2nu{\ displaystyle 2n}
(X,ξ){\ displaystyle (x, \ xi)}
ξ{\ displaystyle \ xi}![\ xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
σ(X,ξ)=∑|α|=0mlaα(X)ξα{\ displaystyle \ sigma (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha}}![{\ displaystyle \ sigma (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accf5a3a5fd7dd7eb1c4ebbb5ecea953ca2644d9)
.
Operatorul diferențial liniar de ordine verifică apoi relația:
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
(Df)(X)=∫dξ(2π)nue+euξ⋅Xσ(X,ξ)f^(ξ){\ displaystyle ({\ mathfrak {D}} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ { + \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} \ sigma (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}![{\ displaystyle ({\ mathfrak {D}} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ { + \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} \ sigma (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124ba776be5fbee4555b41367e5445070464211e)
.
Se poate vedea că această formulă ar putea de fapt face posibilă definirea operatorului din simbolul său . Vom folosi această idee în continuare în paragraful următor.
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
σ(X,ξ){\ displaystyle \ sigma (x, \ xi)}![\ sigma (x, \ xi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1252e8314cc834fcc67f22d1be6863fcdcea2889)
Introducere: operator pseudo-diferențial cu coeficienți constanți
Operator diferențial cu coeficienți constanți
Dacă coeficienții operatorului diferențial de ordine sunt independenți de variabilele spațiale , simbolul său este doar o funcție a variabilelor polinomiale din :
laα{\ displaystyle a _ {\ alpha}}
D{\ displaystyle {\ mathfrak {D}}}
m{\ displaystyle m}
nu{\ displaystyle n}
Xk{\ displaystyle x ^ {k}}
σ(ξ){\ displaystyle \ sigma (\ xi)}
nu{\ displaystyle n}
ξ{\ displaystyle \ xi}
ξ{\ displaystyle \ xi}![\ xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
σ(ξ)=∑|α|=0mlaαξα{\ displaystyle \ sigma (\ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = 0} ^ {m} a _ {\ alpha} \ xi ^ {\ alpha}}
astfel încât :
(Df)(X)=∫dξ(2π)nue+euξXσ(ξ)f^(ξ){\ displaystyle ({\ mathfrak {D}} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ { + \ mathrm {i} \ xi x} \ sigma (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}
sau din nou, folosind transforma Fourier inversă:
(Df^)(ξ)=σ(ξ)f^(ξ){\ displaystyle ({\ widehat {{\ mathfrak {D}} f}}) (\ xi) = \ sigma (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}![{\ displaystyle ({\ widehat {{\ mathfrak {D}} f}}) (\ xi) = \ sigma (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ef714ba6ad99bdc638228b1d9d3ef2fbd028c7)
.
Definiție: operator pseudo-diferențial cu coeficienți constanți
Fie o funcție a variabilelor . Ne asociem cu această funcție un operator de pseudo diferențial cu coeficienți constanți, a cărui acțiune pe o funcție este definită prin următoarea integrală:
p{\ displaystyle p}
nu{\ displaystyle n}
ξ{\ displaystyle \ xi}
PD{\ displaystyle P_ {D}}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
(PDf)(X)=∫dξ(2π)nue+euξ⋅Xp(ξ)f^(ξ){\ displaystyle (P_ {D} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}![{\ displaystyle (P_ {D} f) (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ xi} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (\ xi) {\ hat {f}} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20910cdd04feed1d5ff178172fd4129936323a85)
.
Pentru ca integrala să aibă semnificație, simbolul trebuie să aibă câteva proprietăți „bune”:
p(ξ){\ displaystyle p (\ xi)}![{\ displaystyle p (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722a5061e1a6b168527e738b8419a82fa7a770cb)
- funcția ar trebui să fie netedă ;p(ξ){\ displaystyle p (\ xi)}
![{\ displaystyle p (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722a5061e1a6b168527e738b8419a82fa7a770cb)
- funcția trebuie să aibă o creștere temperată atunci când această creștere temperată trebuie să se îmbunătățească și prin derivare. Prin analogie cu cazul unui operator diferențial de ordine , în care această creștere este polinomială , suntem determinați să cerem aici că există un număr astfel încât:p(ξ){\ displaystyle p (\ xi)}
|ξ|→∞{\ displaystyle | \ xi | \ to \ infty}
m{\ displaystyle m}
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
∀α|∂ξαp(ξ)|≤VSα(1+|ξ|)m-|α|{\ displaystyle \ forall \ alpha \ quad \ left | \ partial _ {\ xi} ^ {\ alpha} p (\ xi) \ right | \ leq C _ {\ alpha} \ left (1+ | \ xi | \ dreapta) ^ {m- | \ alpha |}}
unde sunt constante, care pot depinde de .
VSα{\ displaystyle C _ {\ alpha}}
α{\ displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
Calcul simbolic exact
Fie și să fie doi operatori pseudo-diferențiali cu coeficienți constanți, definiți respectiv prin simboluri și . Apoi, operatorul este încă un operator pseudo-diferențial cu coeficienți constanți, al cărui simbol este produsul .
P1{\ displaystyle P_ {1}}
P2{\ displaystyle P_ {2}}
p1(ξ){\ displaystyle p_ {1} (\ xi)}
p2(ξ){\ displaystyle p_ {2} (\ xi)}
P=P1P2{\ displaystyle P = P_ {1} P_ {2}}
p1(ξ)p2(ξ){\ displaystyle p_ {1} (\ xi) p_ {2} (\ xi)}![{\ displaystyle p_ {1} (\ xi) p_ {2} (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3247197c9b35fca3cbf7583f0206e049434db1f1)
Operator pseudo-diferențial: caz general
Definiție
Fie o funcție a variabilelor . Ne asociem cu această funcție un operator pseudo-diferential , a cărui acțiune pe o funcție este definită prin următoarea integrală:
p(X,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}
2nu{\ displaystyle 2n}
(X,ξ){\ displaystyle (x, \ xi)}
PD{\ displaystyle P_ {D}}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
(PDf)(X)=1(2π)nu∫e+euξ⋅Xp(X,ξ)f^(ξ)dξ{\ displaystyle (P_ {D} f) (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}![{\ displaystyle (P_ {D} f) (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int \ mathrm {e} ^ {+ \ mathrm {i} \ xi \ cdot x} p (x, \ xi) {\ hat {f}} (\ xi) \; \ mathrm {d} \ xi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9de730f8d85fa5e0c55222a194bbdbc37872f89)
.
Notă: Rețineți că , uneori , pseudo-diferential operator de la simbolul său , după cum urmează: .
PD=p(X,D){\ displaystyle P_ {D} = p (x, D)}![{\ displaystyle P_ {D} = p (x, D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee12a759b9364bb4d8148c412587fa6a2de359e8)
Proprietăți simbol necesare
Pentru ca integrala să aibă semnificație, simbolul trebuie să aibă câteva proprietăți „bune”, enumerate mai jos:
p(X,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}![{\ displaystyle p (x, \ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657d9ea5d51566bab68b4df5eb1c2c68167a851e)
- funcția trebuie să aibă o creștere temperată atunci când această creștere temperată trebuie să se îmbunătățească și prin derivare. Prin analogie cu cazul unui operator diferențial de ordine , unde această creștere este polinomială , suntem determinați să cerem aici că există un număr astfel încâtp(X,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}
|ξ|→∞{\ displaystyle | \ xi | \ to \ infty}
m{\ displaystyle m}
m{\ displaystyle m}
∀α|∂ξαp(X,ξ)|≤VSα(1+|ξ|)m-|α|{\ displaystyle \ forall \ alpha \ quad \ left | \ partial _ {\ xi} ^ {\ alpha} p (x, \ xi) \ right | \ leq C _ {\ alpha} \ left (1+ | \ xi | \ dreapta) ^ {m- | \ alfa |}}
unde sunt constante, care pot depinde de ;VSα{\ displaystyle C _ {\ alpha}}
α{\ displaystyle \ alpha}![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
- funcția trebuie să aibă o variație lentă a variabilelor spațiale . Întrebăm în mod explicit astap(X,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}
X{\ displaystyle x}
∀α,|∂Xαp(X,ξ)|≤VSα(1+|ξ|)m{\ displaystyle \ forall \ alpha, \ quad \ left | \ partial _ {x} ^ {\ alpha} p (x, \ xi) \ right | \ leq C _ {\ alpha} \ left (1+ | \ xi | \ dreapta) ^ {m}}
.
Aceste două condiții pot fi combinate într-una singură, utilizate mai jos pentru a defini în continuare clasa simbolurilor de ordine .
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
Clasa simbolurilor de ordine m
Fie o funcție compactă și fără probleme . Fie orice număr real. Clasa simbolurilor de ordine este definită de:
Ω⊂Rnu{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}
p(X,ξ){\ displaystyle p (x, \ xi)}
VS∞(Ω×Rnu){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}
m{\ displaystyle m}
Sm(Ω×Rnu){\ displaystyle S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
Sm(Ω×Rnu)={p(X,ξ)∣|∂ξα∂Xβp(X,ξ)|≤VSα,β,Ω(1+|ξ|)m-|α|}{\ displaystyle S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n}) = \ left \ {p (x, \ xi) \ mid \ left | \ partial _ {\ xi} ^ {\ alpha} \ partial _ {x} ^ {\ beta} p (x, \ xi) \ right | \ leq C _ {\ alpha, \ beta, \ Omega} \ left (1+ | \ xi | \ right) ^ {m- | \ alpha |} \ right \}}
pentru toate ,, și pentru toate multi-indici . Sunt constante, care pot depinde și .
X∈Ω{\ displaystyle x \ in \ Omega}
ξ∈Rnu{\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {n}}
α,β{\ displaystyle \ alpha, \ beta}
VSα,β,Ω{\ displaystyle C _ {\ alpha, \ beta, \ Omega}}
α,β{\ displaystyle \ alpha, \ beta}
Ω{\ displaystyle \ Omega}![\Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
Notă: Atunci când mențiunea Compact este indiferentă, ea notează pur și simplu: .
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Sm=Sm(Ω×Rnu){\ displaystyle S ^ {m} = S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}![{\ displaystyle S ^ {m} = S ^ {m} (\ Omega \ times \ mathbb {R} ^ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6549637b08e556fbf2edcb3be9f012bee46018ba)
Desemnăm adesea setul de operatori pseudo-diferențiali cu simbol înΨm{\ displaystyle \ Psi ^ {m}}
Sm{\ displaystyle S ^ {m}}
Proprietate pseudo-localitate
Suport unic al unei distribuții
Numim suportul singular al unei distribuții complementul setului de puncte în vecinătatea căruia este o funcție .
tu{\ displaystyle u}
tu{\ displaystyle u}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}![{\ displaystyle C ^ {\ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
Calcul simbolic
Să fie elemente ale . Atunci operatorul este, de asemenea, un operator pseudo-diferențial, al cărui simbol, care aparține este dat de o sumă asimptotică al cărei prim termen estepj,(j=1,2){\ displaystyle p_ {j}, (j = 1,2)}
Smj(Rnu×Rnu){\ displaystyle S ^ {m_ {j}} (\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n})}
p1(X,D)∘p2(X,D){\ displaystyle p_ {1} (x, D) \ circ p_ {2} (x, D)}
Sm1+m2{\ displaystyle S ^ {m_ {1} + m_ {2}}}
p1(X,ξ)p2(X,ξ){\ displaystyle p_ {1} (x, \ xi) p_ {2} (x, \ xi)}
Continuitate în spațiile Sobolev
Notăm standard , spatiul Sobolev de ordine pe . Fie și să fie două numere reale. Un operator pseudo-diferențial de ordine pe ( adică un element de ) este continuu de la .
Hs(Rnu){\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}
s{\ displaystyle s}
Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
s{\ displaystyle s}
m{\ displaystyle m}
m{\ displaystyle m}
Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Ψm{\ displaystyle \ Psi ^ {m}}
Hs(Rnu){\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}
Hs-m(Rnu){\ displaystyle H ^ {sm} (\ mathbb {R} ^ {n})}![{\ displaystyle H ^ {sm} (\ mathbb {R} ^ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6d8ba0f270b4ca68c143c3bc057d71aae80bc6)
Proprietate pseudo-localitate
Fie și fie nucleul . La fel este și pentru . În special, pentru orice distribuție temperată , supp sing supp sing .
la∈Sm{\ displaystyle a \ in S ^ {m}}
K{\ displaystyle K}
la(X,D){\ displaystyle a (x, D)}
K{\ displaystyle K}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
X≠y{\ displaystyle x \ neq y}
tu{\ displaystyle u}
la(X,D)tu⊂{\ displaystyle a (x, D) u \ subset}
tu{\ displaystyle u}![tu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
Biblioteca virtuală
(ro) MS Joshi, Prelegeri despre operatori pseudo-diferențiali , curs disponibil pe arXiv .
Bibliografie
- Serge Alinhac și Patrick Gérard, operatori pseudo-diferențiali și teorema lui Nash-Moser , col. „Cunoștințe actuale”, EDP Sciences / CNRS éditions, 1991 ( ISBN 2-86883-363-2 ) . Rezultatul unui curs predat la École normale supérieure ca parte a magisterului în matematică, această carte este destinată studenților postuniversitari de matematică care doresc să dobândească o pregătire de bază în analiză.
- Jacques Chazarain și Alain Piriou, Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale parțiale liniare , Gauthier-Villars, 1981 ( ISBN 2-04-012157-9 ) .
-
(în) Yu. V. Egorov și MA Shubin (în) , Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations , Springer-Verlag, ediția a 2- a 1999 ( ISBN 3-540-65377-5 ) . Această carte urmează volumul introductiv: Fundamente ale teoriei clasice a ecuațiilor diferențiale parțiale , Springer-Verlag, ediția a II- a , 1998 ( ISBN 3-540-63825-3 ) .
-
(ro) Lars Hörmander , Analiza operatorilor diferențiali parțiali lineari , Springer-Verlag, 1983-1985. Tratat de referință în patru volume, de către destinatarul medalii Fields din 1962. Volumul III este subtitrat: Operatori pseudo-diferențiali și Volumul IV: Operatori integrali Fourier .
-
(ro) Lars Hörmander, Operatori diferențiali parțiali liniari , Springer-Verlag, 1963. Această carte conține lucrări pentru care autorul a primit medalia Fields în 1962.
-
(ro) MA Shubin, Operatori pseudodiferențiali și teoria spectrală , Springer-Verlag, 2001 ( ISBN 3-540-41195-X ) .
-
(în) Michael E. Taylor (în) , Operatori pseudodiferențiali , Princeton Univ. Presă, 1981 ( ISBN 0-691-08282-0 ) .
-
(ro) Michael E. Taylor, Ecuații diferențiale parțiale II - Studii calitative ale ecuațiilor liniare , col. „Științe matematice aplicate” ( nr . 116), Springer-Verlag, ed. A II- a , 1997 ( ISBN 0-387-94651-9 ) . Această carte urmează din volumul introductiv: ecuații diferențiale parțiale - teorie de bază , col. "Texte în matematică aplicată" ( nr . 23), Springer-Verlag, ed. A 2- a 1999 ( ISBN 0-387-94654-3 ) .
-
(fr) Michael E. Taylor, Ecuații diferențiale parțiale III - Ecuații neliniare , col. „Științe matematice aplicate” ( nr . 117), Springer-Verlag, ed. A II- a , 1997 ( ISBN 0-387-94652-7 ) .
-
(ro) François Treves , Introducere în operatori integrali pseudo-diferențiali și Fourier , col. „Seria universitară în matematică”, Plenum Publ., 1981 ( ISBN 0-306-40404-4 ) .
Notă
-
Această formulă este falsă atunci când coeficienții operatorului diferențial nu sunt constante.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">