Notare Voigt

Numim notația Voigt o convenție care face posibilă reducerea numărului de indici utilizați pentru a descrie un tensor simetric. Această notație face posibilă în special reprezentarea în formă matricială a tensorilor de ordinul 3, cum ar fi tensorul piezoelectric, sau 4, cum ar fi tensorul modulelor elastice. Această notație își datorează numele lui Woldemar Voigt, care le-a dezvoltat.

Principiu și exemplu

Principiul notației Voigt este bine ilustrat de cazul tensorilor simetrici de rangul 2, cum ar fi tensorul de tensiune sau tensorul de tensiune . Unul reprezintă un astfel de tensor printr-o matrice simetrică 3x3: $a _ {{ij}}$

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31 } & a_ {32} & a_ {33} \\\ end {array}} \ right)}

Această matrice conține 9 coeficienți dintre care doar 6 sunt independenți. Datele acestor 6 coeficienți sunt, prin urmare, suficiente pentru a reprezenta tensorul complet. Prin urmare, vom combina cei doi indici într-unul în conformitate cu convenția:

{\ displaystyle {\ begin {align} 11 \ longrightarrow 1 \ qquad \ qquad 32 \ \ mathrm {or} \ 23 \ longrightarrow 4 \\ 22 \ longrightarrow 2 \ qquad \ qquad 31 \ \ mathrm {or} \ 13 \ longrightarrow 5 \\ 33 \ longrightarrow 3 \ qquad \ qquad 21 \ \ mathrm {or} \ 12 \ longrightarrow 6 \\\ end {align}}}

Cu toate acestea, nu este posibil să înlocuiți pur și simplu indicii cu indicii contractați. Pentru a păstra o reprezentare coerentă a proprietăților fizice, este necesar să se introducă câțiva factori multiplicativi. Acest lucru poate fi demonstrat pe un exemplu. Luați în considerare legea lui Hooke care leagă tensorul de tensiune de tensorul de tensiune de un tensor al modulelor elastice : $\ varepsilon _ {{ij}}$ $\ sigma _ {{kl}}$ $C _ {{ijkl}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = C_ {ijkl} \, \ varepsilon _ {kl}}

Prin urmare, vom scrie, de exemplu pentru : ${\ displaystyle \ sigma _ {13}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {13} = & \ quad C_ {1311} \, \ varepsilon _ {11} + C_ {1322} \, \ varepsilon _ {22} + C_ {1333} \ , \ varepsilon _ {33} \\ & + \ underbrace {C_ {1332} \, \ varepsilon _ {32} + C_ {1323} \, \ varepsilon _ {23}} _ {\ displaystyle 2C_ {1332} \, \ varepsilon _ {32}} + \ underbrace {C_ {1331} \, \ varepsilon _ {31} + C_ {1313} \, \ varepsilon _ {13}} _ {\ displaystyle 2C_ {1331} \, \ varepsilon _ {31}} + \ underbrace {C_ {1312} \, \ varepsilon _ {12} + C_ {1321} \, \ varepsilon _ {21}} _ {\ displaystyle 2C_ {1321} \, \ varepsilon _ {21} } \\\ end {align}}}

Prin urmare, este necesar să se ia în considerare acești coeficienți 2, scriind această relație în indici contractați:

{\ displaystyle \ sigma _ {5} = C_ {51} \, \ varepsilon _ {1} + C_ {52} \, \ varepsilon _ {2} + C_ {53} \, \ varepsilon _ {3} + C_ {54} \, \ varepsilon _ {4} + C_ {55} \, \ varepsilon _ {5} + C_ {56} \, \ varepsilon _ {6}}

În cazul de față, acest coeficient 2 este integrat prin convenție în definiția tensorului tulpinilor, astfel încât se trece de la notația completă la notația Voigt prin următoarele relații, unde se notează indicii contractați de o literă greacă :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {\ alpha} & = \ sigma _ {ij} \\ C _ {\ alpha \ beta} & = C_ {ijkl} \\\ varepsilon _ {\ alpha} & = \ varepsilon _ {ij} \ \ mathrm {for} \ \ alpha = 1,2,3 \\ & = 2 \, \ varepsilon _ {ij} \ \ mathrm {for} \ \ alpha = 4,5,6 \ \\ end {align}}}

Cazuri obișnuite

Următorul tabel listează cazurile obișnuite de utilizare a notației Voigt.

Tensorul de tensiune	${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha} = 2 ^ {p} \, \ varepsilon _ {ij}}$
Tensor de stres	${\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha} = \ sigma _ {ij} ~}$
Tensori piezoelectrici	${\ displaystyle d_ {i \ alpha} = 2 ^ {p} \, d_ {i (jk)} \ quad; \ quad e_ {i \ alpha} = e_ {i (jk)}}$ ${\ displaystyle g_ {i \ alpha} = 2 ^ {p} \, g_ {i (jk)} \ quad; \ quad h_ {i \ alpha} = h_ {i (jk)}}$
Tensor al constantelor elastice	${\ displaystyle C _ {\ alpha \ beta} = C _ {(ij) (kl)} ~}$
Tensor al conformităților elastice	${\ displaystyle S _ {\ alpha \ beta} = 2 ^ {p} \, S _ {(ij) (kl)}}$
De fiecare dată, numărul de indici contractați este egal cu 4, 5 sau 6 $p$

Note și referințe

Există mai multe reprezentări posibile ale tensorului piezoelectric. Aceste notații sunt notațiile definite de standardele ANSI / IEEE (cf. Piezoelectricitate ).

(ro) Standardul ANSI / IEEE privind piezoelectricitatea ,1996[ detaliul ediției ]