Nivelul corpului

În algebră , nivelul unui corp (comutativ) F este numărul minim de termeni într-o sumă descompusă -1 de pătrat dacă există astfel de descompuneri și infinit în caz contrar (adică, dacă F este formal real ). O denotăm s ( F ), litera s fiind inițiala cuvântului german Stufe . Albrecht Pfister a demonstrat că, atunci când nivelul este terminat, este o putere de 2 și că, invers, orice putere de 2 este nivelul unui corp.

Puteri de 2

Dacă s ( F ) ≠ $\infty$ , există un număr natural k astfel încât s ( F ) = 2 k .

Demonstrație

Fie s întregul s ( F ), k întregul astfel încât 2 k ≤ s <2 k +1 și n numărul întreg 2 k . Există elemente diferite de zero $e 1 , ..., e s$ de F astfel încât

${\ displaystyle 0 = \ underbrace {1 + e_ {1} ^ {2} + \ ldots + e_ {n-1} ^ {2}} _ {=: a} + \ underbrace {e_ {n} ^ {2 } + \ ldots + e_ {s} ^ {2}} _ {=: b}.}$

Elementele $a$ și $b$ sunt ambele sume de n pătrate deci - conform teoriei formelor lui Pfister (în) - produsul lor de asemenea $ab$ , adică există elemente $c 1 , ..., c n$ din F astfel acea

${\ displaystyle ab = c_ {1} ^ {2} + \ ldots + c_ {n} ^ {2}.}$

Deoarece $a$ este diferit de zero prin definiția lui k , deducem

${\ displaystyle -1 = {\ frac {ab} {a ^ {2}}} = \ left ({\ frac {c_ {1}} {a}} \ right) ^ {2} + \ ldots + \ left ({\ frac {c_ {n}} {a}} \ right) ^ {2},}$

astfel încât s ( F ) = n = 2 k .

Caracteristică diferită de zero

Dacă F are caracteristica p > 0 atunci s ( F ) ≤ 2.

Demonstrație

Dacă p = 2 atunci –1 = 1 = 1 2 deci s ( F ) = 1.

Dacă p > 2, subcâmpul prim al lui F este câmpul finit F p . Mulțimea S a pătratelor elementelor lui F p este cardinală ( p + 1) / 2 deci și mulțimea –1 - S , astfel încât intersecția lor este simplă, prin urmare este neocupată: există două elemente x și y ale lui F p astfel încât x 2 = –1 - y 2 deci –1 = x 2 + y 2 .

Proprietăți

Nivelul s ( F ) al unui corp F este legat de numărul său pitagoric p ( F ) de p ( F ) ≤ s ( F ) + 1 și chiar, dacă F nu este formal real, s ( F ) ≤ p ( F ) ≤ s ( F ) + 1.

Aditiv Ordinea de forma (1) - de unde exponent al grupării Witt din F - este egal cu 2 s ( F ).

Exemple

Nivelul unui corp închis cvadratic este de 1.
Nivelul unui corp de numere este $\infty$ , 1, 2 sau 4 („ teorema lui Siegel ”). Exemplele sunt respectiv ℚ și câmpurile pătratice ℚ ( $\sqrt -1$ ), ℚ ( $\sqrt -2$ ) și ℚ ( $\sqrt -7$ ).
Nivelul câmpului finit F q este 1 dacă q ≡ 1 mod 4 și 2 dacă q ≡ 3 mod 4.
Dacă F este un câmp local al cărui câmp rezidual k are o caracteristică impar, atunci s ( F ) = s ( k ). Nivelul corpului ℚ 2 al numerelor 2-adic este 4.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Stufe (algebra) ” ( vezi lista autorilor ) .

(în) RA Rajwade , Squares , CUP , al. „London Mathematical Society Note Play Series” ( nr . 171)1993, 286 p. ( ISBN 978-0-521-42668-8 , citit online ) , p. 13.
(în) Tsit-Yuen Lam , Introduction to Quadratic Forms over Fields , AMS , al. „Studii postuniversitare în matematică” ( nr . 67),2005( ISBN 978-0-8218-7241-3 , citit online ) , p. 379.
Rajwade 1993 , p. 33.
Rajwade 1993 , p. 44.
Rajwade 1993 , p. 228.
Lam 2005 , p. 395.
(ro) John Milnor și Dale Husemöller (de) , Forme biliniare simetrice , Springer , col. " Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (en) " ( n o 73),1973, 150 p. ( ISBN 978-3-642-88332-3 ) , p. 75.
Lam 2005 , p. 380.
Lam 2005 , p. 381.
(în) Sahib Singh , „ Stufe of a finite field ” , Fibonacci Quarterly , vol. 12,1974, p. 81-82 ( citiți online ). Pentru o dovadă mai simplă, este suficient să faceți același raționament ca în dovada criteriului Euler , folosind că grupul multiplicativ al lui F q este ciclic .

Bibliografie

(en) Manfred Knebusch (de) și Windried Scharlau (de) , Teoria algebrică a formelor quadratice. Metode generice și forme Pfister , Birkhäuser , col. „ Seminar DMV ” ( nr . 1),1980, 44 p. ( ISBN 978-3764312060 , citit online )