Minkowski metric
Tensorul metric Minkowski , sau mai mult , pur și simplu metrica Minkowski , este o valoare care definește proprietățile spațiului Minkowski , care are un rol fundamental în domeniul teoriilor relativității . Această valoare are proprietatea de a fi păstrată de o transformare Lorentz .
Definiție
În fizica teoretică , formalismul cu patru dimensiuni utilizat pentru studiul spațiului-timp folosește vectorul de poziție spațiu-timp reprezentat de:
X{\ displaystyle x}
Xμ=(X0,X1,X2,X3)=(X0,X)=(t,X){\ displaystyle x ^ {\ mu} = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (x ^ {0}, x) = (t, x )}}Dacă notăm cu vectorii de bază , atunci vectorul componentelor contravariant paralel este scris, conform convenției lui Albert Einstein :
eμ{\ displaystyle e _ {\ mu}}LA{\ displaystyle A}LAμ{\ displaystyle A ^ {\ mu}}eμ{\ displaystyle e _ {\ mu}}
LA=∑μ=03LAμeμ=LAμeμ{\ displaystyle A = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} A ^ {\ mu} e _ {\ mu} = A ^ {\ mu} e _ {\ mu}}.
Produsul scalar al celor două cvadrivectori și poate fi apoi notat:
LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
LA⋅B≡LAμeμ⋅Bνeν=LAμBνgμν{\ displaystyle A \ cdot B \ equiv A ^ {\ mu} e _ {\ mu} \ cdot B ^ {\ nu} e _ {\ nu} = A ^ {\ mu} B ^ {\ nu} g _ {\ mu \ nu}}- unde este tensorul metric (sau metricul).gμν≡eμ⋅eν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ equiv e _ {\ mu} \ cdot e _ {\ nu}}
Convenții de notare
Pentru două evenimente separate spațial prin ,, și , și în timp cu , definiți între ele cantitatea invariantă Lorentz prin forma diferențială:
ΔX{\ displaystyle \ Delta x}Δy{\ displaystyle \ Delta y}Δz{\ displaystyle \ Delta z}Δt{\ displaystyle \ Delta t}
τ2=vs.2(Δt)2-(ΔX)2-(Δy)2-(Δz)2{\ displaystyle \ tau ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}care poate fi scris și:
(Δs)2=-vs.2(Δt)2+(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2{\ displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + ( \ Delta z) ^ {2}}.
De unde se obține , din cele două evenimente și .
τ2{\ displaystyle \ tau ^ {2}}(y-X)⋅(y-X){\ displaystyle (yx) \ cdot (yx)}X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}
În primul caz, luând ca bază norma vectorului dacă și dacă , atunci metrica este scrisă:
eμ2={1{\ displaystyle e _ {\ mu} ^ {2} = \ {1}μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}-1{\ displaystyle -1}μ=1,2,3}{\ displaystyle \ mu = 1,2,3 \}}
gμν=(10000-10000-10000-1){\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}}.
Se spune că acest formular are semnătura .
(+---){\ displaystyle (+ ---)}
În cel de-al doilea caz, semnele sunt inversate și se scrie metrica, folosind componentele covariante notate prin indicele:
gμν=(-1000010000100001){\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}.
Acest formular are semnătura .
(-+++){\ displaystyle (- +++)}
În rezumat, metrica Minkowski este definită de expresia:
ds2=vs.2dτ2=vs.2dt2-dX2-dy2-dz2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = c ^ {2} \ mathrm {d} \ tau ^ {2} = c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} - \ mathrm { d} x ^ {2} - \ mathrm {d} y ^ {2} - \ mathrm {d} z ^ {2}},
semnătură și unde:
(+---){\ displaystyle \ left (+ --- \ right)}
-
t{\ displaystyle t} este coordonata de timp,
-
X,y,z{\ displaystyle x, y, z} sunt cele trei coordonate spațiale,
-
τ{\ displaystyle \ tau}este timpul curat ,
-
vs.{\ displaystyle c}este viteza luminii .
Notarea este uneori folosită pentru a se referi în mod specific la metrica Minkowski.
ημν{\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}
Proprietăți
Fie două evenimente distincte în spațiu-timp notate, precum și . Produsul dot în spațiul Minkowski este scris:
X~=Xμeμ=(X0,X1,X2,X3){\ displaystyle {\ widetilde {x}} = x ^ {\ mu} e _ {\ mu} = \ left (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} \ dreapta)}y~=yνeν=(y0,y1,y2,y3){\ displaystyle {\ widetilde {y}} = y ^ {\ nu} e _ {\ nu} = \ left (y ^ {0}, y ^ {1}, y ^ {2}, y ^ {3} \ dreapta)}
X~⋅y~=(Xμeμ)⋅(yνeν)=(Xμyν)(eμ⋅eν){\ displaystyle {\ widetilde {x}} \ cdot {\ widetilde {y}} = \ left (x ^ {\ mu} e _ {\ mu} \ right) \ cdot \ left (y ^ {\ nu} e_ {\ nu} \ right) = \ left (x ^ {\ mu} y ^ {\ nu} \ right) \ left (e _ {\ mu} \ cdot e _ {\ nu} \ right)}unde este scris produsul scalar al vectorilor de bază:
eμ⋅eν≡gμν{\ displaystyle e _ {\ mu} \ cdot e _ {\ nu} \ equiv g _ {\ mu \ nu}}.
Forma pătratică este asemănătoare timpului , a luminii și a spațiului . Fie o transformare Lorentz , intervalul spațiu-timp este Lorentz invariant de la un cadru de referință galilean la altul, fie . Rețineți că orice metrică, oricare ar fi aceasta, poate fi descrisă de metrica Minkowski într-un sistem de coordonate geodezice locale.
Î(X~)=X~2{\ displaystyle Q ({\ widetilde {x}}) = {\ widetilde {x}} ^ {2}}X~2>0{\ displaystyle {\ widetilde {x}} ^ {2}> 0}X~2=0{\ displaystyle {\ widetilde {x}} ^ {2} = 0}X~2<0{\ displaystyle {\ widetilde {x}} ^ {2} <0} L{\ displaystyle L}Î(X~)=Î(L(X~))=Î(X~′){\ displaystyle Q ({\ widetilde {x}}) = Q (L ({\ widetilde {x}})) = Q ({\ widetilde {x}} ^ {\ prime})}
Tensorul metric și inversul acestuia coincid:
gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}gμν{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}
gμν=(gμν)-1=gμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = (g _ {\ mu \ nu}) ^ {- 1} = g ^ {\ mu \ nu}}și
gμνgμν=4{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ mu \ nu} = 4}.
Note și referințe
Referințe
-
Marleau 2017 , p. 10.
-
Marleau 2017 , p. 11.
-
Hobson, Efstathiou și Lasenby 2009 , cap. 5 , § 5.1 , p. 109.
-
Penrose 2007 , cap. 18 , § 18.1 , p. 400.
-
Pérez 2016 , cap. 2 , sect. II , § II .1 , p. 28.
-
Petkov 2012 , cap. 1 st , § 1.2 , p. 14.
-
Semay și Silvestre-Brac 2016 , cap. 8 , § 8.2 , p. 141, n. 5 .
Vezi și tu
Bibliografie
-
[Derendinger 2001] J.-P. Derendinger , teoria câmpului cuantic , Lausanne, PPUR , col. "Fizică",Dec. 2001( repr. Aprilie 2013), 1 st ed. , 1 vol. , X -350 p. , bolnav. , 16 × 24 cm ( ISBN 978-2-88074-491-5 , EAN 9782880744915 , OCLC 50034439 , notificare BnF n o FRBNF37714650 , SUDOC 05961899X , prezentare online , citire online ).
- [Hobson, Efstathiou și Lasenby 2009] MP Hobson , GP Efstathiou și AN Lasenby ( trad. Of Engl American fashion .. De L. Villain , rev. De R. Taillet ,) Relativitatea generală [" Relativitatea generală: o introducere pentru fizicieni » ], Bruxelles, De Boeck Univ. , cu excepția col. , ser. fizic ,Dec. 2009, 1 st ed. , 1 vol. , XX -554 p. , bolnav. , 21,6 × 27,5 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690272413 , notificare BnF n o FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , prezentare online , citiți online )
-
Luc Marleau, Introducere în fizica particulelor , Universitatea Laval, Quebec, Canada,2017, 413 p. ( citește online ).
-
[Penrose 2007] R. Penrose ( tradus din engleză de C. Laroche ), Descoperirea legilor universului: istoria uimitoare a matematicii și fizicii [„ Drumul către realitate: un ghid complet al legilor universului ”], Paris, O. Jacob , col. „Științe”,august 2007, 1 st ed. , 1 vol. , XXII -1061 p. , bolnav. și fig. , 15,5 × 24 cm ( ISBN 978-2-7381-1840-0 , EAN 9782738118400 , OCLC 209307388 , notificare BnF n o FRBNF41131526 , SUDOC 118177311 , prezentare online , citiți online ).
-
[Pérez 2016] J.-Ph. Pérez (cu colaborarea lui É. Anterrieu ), Relativitatea: fundații și aplicații (cursuri și exerciții corectate), Paris, Dunod , hors coll. ,Mai 2016( repr. Octombrie 2017), 3 th ed. ( 1 st ed. Septembrie 1999), 1 vol. , XXIII -439 p. , bolnav. , fig. și grafic. , 17,7 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-074717-7 , EAN 9782100747177 , OCLC 949876980 , notificare BnF n o FRBNF45033071 , SUDOC 193153297 , prezentare online , citiți online ).
-
[Petkov 2012] (ro) V. Petkov , „Introducere” , în V. Petkov ( ed. Și pref. ) Și H. Minkowski , Spațiu și timp : articolele lui Minkowski despre relativitate [„Spațiu și timp: articolele lui Minkowski despre relativitate” ], Montreal, Minkowski Inst. ,Dec. 2012, 1 st ed. , 1 vol. , [4] - III - [1] -125 p. , bolnav. , 15,2 × 22,9 cm ( ISBN 978-0-9879871-4-3 , EAN 9780987987143 , OCLC 897762967 , prezentare online , citit online ) , cap. 1 st , p. 1-37.
-
[Semay și Silvestre-Brac 2016] C. Semay și B. Silvestre-Brac , Relativitate restricționată: baze și aplicații (cursuri și exerciții corectate), Malakoff, Dunod , col. "Științe Sup. ",martie 2016, 3 e ed. ( 1 st ed. Octombrie 2005), 1 vol. , X -309 p. , bolnav. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-074703-0 , EAN 9782100747030 , OCLC 945975983 , notificare BnF n o FRBNF45019762 , SUDOC 192365681 , prezentare online , citire online ).
Articol asociat