Metoda securizată

În analiza numerică , metoda secantă este un algoritm pentru găsirea unui zero al unei funcții $f$ .

Metoda

Metoda secantă este o metodă comparabilă cu cea a lui Newton , unde înlocuim cu Obținem relația de recurență : $f '(x_ {n}) \,$ ${\ frac {f (x_ {n}) - f (x _ {{n-1}})} {x_ {n} -x _ {{n-1}}}}.$

x _ {{n + 1}} = x_ {n} - {\ frac {x_ {n} -x _ {{n-1}}} {f (x_ {n}) - f (x _ {{n -1}})}} f (x_ {n}).

Inițializarea necesită două puncte $x 0$ și $x 1$ , apropiate, dacă este posibil, de soluția căutată. Nu este necesar ca $x 0$ și $x 1$ să includă o rădăcină de $f$ . Metoda secantă poate fi văzută și ca o generalizare a metodei poziției false , unde calculele sunt iterate.

Demonstrație

Dat fiind $a$ și $b$ , construim linia care trece prin $( a , f ( a ))$ și $( b , f ( b ))$ . Ecuația sa este:

yf (b) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (xb).

Am ales $c$ egal cu abscisa de la punctul ordonatei $y = 0$ din această linie:

f (b) + {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} (cb) = 0.

Dacă extragem $c$ din această ecuație, găsim relația de recurență citată mai sus:

c = b - {\ frac {ba} {f (b) -f (a)}} f (b),

{\ displaystyle c = x_ {n + 1}, \, b = x_ {n}, \, a = x_ {n-1}.}

Convergenţă

Dacă valorile inițiale $x 0$ și $x 1$ sunt suficient de apropiate de soluție, metoda va avea o ordine de convergență de

\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ simeq 1.618

care este raportul auriu .

Putem demonstra acest rezultat presupunând că funcția $f$ este de două ori continuă diferențiată și soluția este o rădăcină simplă a lui $f$ .

Niciuna dintre aceste două condiții nu este totuși necesară, nici pentru a aplica metoda și nici pentru a asigura convergența acesteia. Metoda cu siguranță nu poate fi aplicată dacă funcția nu arată o schimbare de semn între $x 0$ și $x 1$ (de exemplu: $f ( x ) = x 2$ între -1 și 1). Cu toate acestea, pentru orice funcție continuă care prezintă o schimbare de semn și admite o singură rădăcină în intervalul considerat, metoda se aplică și converge cel puțin liniar. Nu este necesar ca $f să$ fie diferențiat: metoda poate fi aplicată unei funcții continue nediferențiabile nicăieri, cum ar fi funcția Weierstrass .

Vezi și tu

Evaluare și referință

Demonstrație în Nikolai Bakhvalov, Metode numerice , Moscova, Ediții Mir ,1976, p. 402-403.

Bibliografie

Jean Dieudonné , Calcul infinitesimal [ detaliu ediții ], cap. II