În geometria plană , bisectoarea perpendiculară a unui segment este setul de puncte echidistante de la cele două capete ale segmentului. Acest set este linia care trece prin mijlocul segmentului și care este perpendiculară pe segment.
Într-un triunghi , bisectoarele perpendiculare ale celor trei laturi sunt concurente într-un punct care este centrul cercului circumscris al acestui triunghi.
Bisectoarea perpendiculară a unui segment este o axă de simetrie a acestui segment. Într-un dreptunghi , bisectoarele perpendiculare ale laturilor sunt, de asemenea, axe de simetrie ale dreptunghiului.
Bisectoarea perpendiculară a unui segment [AB] împarte planul în două semiplane: cel al punctelor mai apropiate de A decât de B și cel al punctelor mai apropiate de B decât de A. Astfel, limitele unei diagrame Voronoi sunt segmente de perpendiculară bisectoare.
O ilustrare a conceptului de distanță Hausdorff în geometria elementară:
Fie [AB] un segment și C un punct. Dacă C aparține semiplanului de puncte mai apropiat de A decât de B, atunci d H (C, [AB]) = CB altfel este CA.
Luați în considerare segmentul [AB]. Folosind rigla gradată, măsurați lungimea segmentului [AB]. Punem un semn la jumătatea lungimii sale, adică la mijlocul lui I. Cu pătratul, trasăm perpendicular pe segmentul [AB] care trece prin I.
Această construcție este atribuită lui Enopide din Chios . Vă permite să construiți bisectoarea perpendiculară a unui segment folosind o riglă și o busolă . Prin urmare, nu folosim un pătrat sau o regulă gradată.
Luați în considerare segmentul [AB]. În primul rând, busola este setată la orice rază mai mare de jumătate din lungimea AB. Cu această distanțare a busolei, trasăm un cerc centrat pe A, apoi un cerc cu aceeași rază centrat pe B. Aceste două cercuri se intersectează în două puncte C și D. Tragem în cele din urmă linia (CD) care este bisectoarea perpendiculară a [ AB].
Într-adevăr, ca și razele cercurilor CA = CB și DA = DB. Punctele C și D sunt, prin urmare, două puncte distincte ale bisectoarei perpendiculare. Linia care trece prin C și D este neapărat bisectoarea perpendiculară a lui [AB].
Această construcție este de obicei preferată pentru o precizie mai bună în comparație cu utilizarea riglei și a pătratului, deoarece nu este necesar să măsurați segmentul pentru a găsi punctul de mijloc.
Această construcție face posibilă trasarea perpendiculară pe o linie dată care trece printr-un punct dat. Astfel, orice construcție pătrată este considerată fezabilă numai cu o riglă și o busolă.
Luați în considerare o linie (D) și un punct C în afara acestei linii. Începem prin trasarea unui cerc cu centrul C care va tăia linia (D) în două puncte A și B. Datorită construcției anterioare, construim bisectoarea perpendiculară a lui [AB]. Deoarece C este echidistant de la A și B, C se află pe această bisectoare perpendiculare. Astfel, bisectoarea perpendiculară a lui [AB] este linia perpendiculară pe (D) și care trece prin C.