Momentul unghiular specific

În mecanica cerească , impulsul unghiular specific joacă un rol important în soluționarea problemei cu doi corpuri . Se poate arăta că acest vector este constant pentru o orbită în condiții ideale. Acest lucru duce direct la a doua lege a lui Kepler . h→{\ displaystyle {\ vec {h}}}

Acest articol tratează momentul unghiular specific, deoarece nu este momentul unghiular în sine , ci momentul unghiular pe unitate de masă. L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}

h→=L→m{\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ frac {\ vec {L}} {m}}}

pentru a fi exact masa redusă . Unitatea sa SI este deci m 2 · s −1 . 1m=1m1+1m2{\ displaystyle {\ frac {1} {m}} = {\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}}}

Condiții prealabile

Anumite condiții, deja cunoscute din legea universală a gravitației conform lui Newton, trebuie mai întâi puse pentru a simplifica ceea ce urmează.

Două mase punctiforme și sunt situate într - un vid , la o distanță unul față de celălalt. Numai forța gravitației acționează instantaneu și indiferent de distanță. Sistemul de coordonate este inerțial. m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}r{\ displaystyle r}F→=Gm1m2r2r→r{\ displaystyle {\ vec {F}} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {\ vec {r}} {r}}}

În plus, se presupune că . Prin urmare , există corpul central, la originea sistemului de coordonate și al satelitului care se învârte în jurul său. Masa redusă este egală cu . Ecuația problemei cu doi corpuri m1≫m2{\ displaystyle m_ {1} \ gg m_ {2}}m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}m2{\ displaystyle m_ {2}}

r→¨=-μr2r→r{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} {\ frac {\ vec {r}} {r}}}

descrie mișcarea. este parametrul gravitațional standard și (valoarea absolută ) este vectorul de distanță care indică de la corpul central la satelit, deoarece masa satelitului este neglijabilă. μ=Gm1{\ displaystyle \ mu = Gm_ {1}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}r{\ displaystyle r}

Este important să nu confundați parametrul gravitațional standard cu masa redusă al cărui simbol este adesea și. μ{\ displaystyle \ mu}μ{\ displaystyle \ mu}

Momentul unghiular specific

Momentul unghiular specific este obținut prin înmulțirea ecuației problemei cu doi corpuri cu vectorul cu un produs încrucișatr→{\ displaystyle {\ vec {r}}}

r→×r→¨=-r→×μr2r→r{\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ vec {r}} \ times {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} { \ frac {\ vec {r}} {r}}}

Produsul încrucișat al unui vector cu el însuși (partea dreaptă a ecuației) este 0. Partea stângă este simplificată după cum urmează conform regulii produsului derivatelor

r→×r→¨=r→˙×r→˙+r→×r→¨=d(r→×r→˙)dt=0{\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ dot {\ vec {r}}} + { \ vec {r}} \ times {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ frac {\ mathrm {d} ({\ vec {r}} \ times {\ dot {\ vec {r}}} )} {\ mathrm {d} t}} = 0}

Aceasta înseamnă că este constant ( magnitudinea conservată ). Acest vector este tocmai impulsul unghiular pe unitate de masă a satelituluir→×r→˙{\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ dot {\ vec {r}}}}

h→=r→×r→˙=vs.onust.{\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ vec {r}} \ times {\ dot {\ vec {r}}} = const.}

Acest vector este perpendicular pe orbită. Prin urmare, orbita rămâne în același plan, deoarece impulsul unghiular este constant.

Concluzii suplimentare ale problemei cu doi corpuri pot fi argumentate din momentul unghiular specific cu definițiile unghiului de zbor și ale componentelor transversale și radiale ale vectorului vitezei (a se vedea figura din dreapta). Următoarele trei formule sunt toate metode echivalente pentru a calcula valoarea absolută a mișcării cinetice specifice. ϕ{\ displaystyle \ phi}

• h=rvcos⁡ϕ{\ displaystyle h = rv \ cos \ phi}
• h=r2ν˙{\ displaystyle h = r ^ {2} {\ dot {\ nu}}}
• h=μp{\ displaystyle h = {\ sqrt {\ mu p}}}

Legile lui Kepler

Legile lui Kepler pot fi demonstrate aproape direct din derivarea momentului unghiular specific.

Prima lege

Dovada începe din nou despre ecuația problemei cu doi corpuri. De data aceasta este multiplicat (produs încrucișat) cu impulsul unghiular specific

r→¨×h→=-μr2r→r×h→{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} {\ frac {\ vec {r}} {r}} \ times {\ vec {h}}}

Partea stângă a ecuației este egală cu deoarece impulsul unghiular este constant. d(r→˙×h→)dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ({\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}})} {\ mathrm {d} t}}}

După câteva calcule obținem partea dreaptă -μr3(r→×h→)=-μr3((r→⋅v→)r→-r2v→)=-(μr2r˙r→-μrv→)=μdr→rdt{\ displaystyle - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} ({\ vec {r}} \ times {\ vec {h}}) = - {\ frac {\ mu} {r ^ { 3}}} (({\ vec {r}} \ cdot {\ vec {v}}) {\ vec {r}} - r ^ {2} {\ vec {v}}) = - ({\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} {\ dot {r}} {\ vec {r}} - {\ frac {\ mu} {r}} {\ vec {v}}) = \ mu { \ frac {\ mathrm {d} {\ frac {\ vec {r}} {r}}} {\ mathrm {d} t}}}

Formați ecuația și integrați-vă

r→˙×h→=μr→r+VS→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}} = \ mu {\ frac {\ vec {r}} {r}} + {\ vec {C}}}

cu constanta integrării . VS→{\ displaystyle {\ vec {C}}}

Dacă înmulțim ( punctează produsul ) această ecuație cu obținem r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}

r→(r→˙×h→)=r→(μr→r+VS→){\ displaystyle {\ vec {r}} ({\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}}) = {\ vec {r}} (\ mu {\ frac {\ vec { r}} {r}} + {\ vec {C}})} r→(r→˙×h→)=(r→×r→˙)h→=h2,r→(μr→r+VS→)=μr+rVScos⁡ν{\ displaystyle {\ vec {r}} ({\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}}) = ({\ vec {r}} \ times {\ dot {\ vec { r}}}) {\ vec {h}} = h ^ {2} \ ;, \ qquad {\ vec {r}} (\ mu {\ frac {\ vec {r}} {r}} + {\ vec {C}}) = \ mu r + rC \ cos \ nu}

Ecuația mișcării Kepleriene apare în cele din urmă.

r=h2μ1+VSμcos⁡ν{\ displaystyle r = {\ frac {\ frac {h ^ {2}} {\ mu}} {1 + {\ frac {C} {\ mu}} \ cos \ nu}}}

care este ecuația polară a unei conice cu semiparametrul și excentricitatea . Aceasta dovedește prima lege a lui Kepler, în cuvinte: p=h2μ{\ displaystyle p = {\ frac {h ^ {2}} {\ mu}}}e=VSμ{\ displaystyle e = {\ frac {C} {\ mu}}}

„Planetele descriu o elipsă în care Soarele ocupă unul dintre punctele focale. "

-  Johannes Kepler , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis

A doua lege

A doua dintre cele trei ecuații pentru valoarea absolută a mișcării cinetice specifice duce direct la a doua lege a lui Kepler.

Dacă combinăm recompunerea ecuației cu raportul pe care aria unui sector cu un unghi infinit de mic este egală cu (triunghi cu o latură foarte mică), rezultatul estedt=r2dνh{\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {r ^ {2} \ mathrm {d} \ nu} {h}}}dν{\ displaystyle \ mathrm {d} \ nu}dLA=r2dv2{\ displaystyle \ mathrm {d} A = {\ frac {r ^ {2} \ mathrm {d} v} {2}}}

dt=2dLAh{\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {2 \ mathrm {d} A} {h}}}

ecuația care merge cu legea formulată în cuvinte:

„Raza Soare-planetă străbate zone egale pentru intervale egale de timp. "

-  Johannes Kepler , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis

A treia lege

A treia lege a lui Kepler este o consecință a celei de-a doua legi. Dacă integrăm ecuația peste o revoluție, obținem perioada de revoluție

T=2πlabh{\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi ab} {h}}}

pentru zona unei elipse. Dacă înlocuim axa semi-minoră cu și momentul unghiular specific cu rezultatul esteπlab{\ displaystyle \ pi ab}b=lap{\ displaystyle b = {\ sqrt {ap}}}h=μp{\ displaystyle h = {\ sqrt {\ mu p}}}

T=2πla3μ{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}}}

Aceasta înseamnă că există o relație funcțională între perioada de revoluție și axa semi-majoră care este redusă la o constantă a corpului central. Acest lucru este echivalent cu formularea mai cunoscută a legii:

„Pătratul perioadei de revoluție este proporțional cu cubul axei semi-majore a orbitei. "

-  Johannes Kepler , Harmonices Mundi libri V

Articole similare

• Energia orbitală specifică , o altă unitate de conservare a problemei cu doi corpuri.

Note

1. Nu trebuie să faceți această presupunere pentru a obține impulsul unghiular specific. Apoi, originea sistemului de coordonate este baricentrul , parametrul gravitațional standard și rămâne masa redusă (pas ). Dar această simplificare este bună în majoritatea cazurilor, iar dovezile legilor lui Kepler sunt mai evidente.μ=G(m1+m2){\ displaystyle \ mu = G (m_ {1} + m_ {2})}m{\ displaystyle m}m2{\ displaystyle m_ {2}}

Referințe

1. (în) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications , Hawthorne, CA, Micorcosm Press,2013, 1106  p. ( ISBN  9781881883180 ) , p.  24
2. (în) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications , Hawthorne, CA, Micorcosm Press,2013, 1106  p. ( ISBN  9781881883180 ) , p.  28
3. „  Legile lui Kepler  ” , pe eduscol.education.fr (accesat la 19 aprilie 2016 )
4. (în) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications , Hawthorne, CA, Micorcosm Press,2013, 1106  p. ( ISBN  9781881883180 ) , p.  30

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">