Modelul Verhulst

În dinamica populației , modelul Verhulst este un model de creștere propus de Pierre François Verhulst în jurul anului 1840. Verhulst a propus acest model ca răspuns la modelul Malthus care propunea o rată constantă de creștere fără frână care să ducă la o creștere exponențială a populației.

Modelul lui Verhulst imaginează că rata natalității și rata mortalității sunt, respectiv, funcții afine în scădere și în creștere ale dimensiunii populației. Cu alte cuvinte, cu cât crește dimensiunea populației, cu atât scade rata natalității și crește rata mortalității. Pe de altă parte, Verhulst susține că, atunci când populațiile sunt mici , acestea tind să crească.

Același model poate fi utilizat și pentru reacțiile autocatalitice , în care creșterea numărului de indivizi afectați este proporțională atât cu numărul de indivizi deja afectați, cât și cu numărul de indivizi care pot fi încă afectați.

Acest model conduce, în timp continuu, la o funcție logistică și în timp discret la o secvență logistică a cărei particularitate este să fie, în anumite circumstanțe, haotică .

Implementarea matematică

Dacă sunăm:

$y$ mărimea populației;
$m ( y )$ rata mortalității;
$n ( y )$ rata natalității,

dimensiunea populației urmează ecuația diferențială

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = y \ left (n (y) -m (y) \ right)

Dacă $m$ și $n$ sunt funcții afine crescătoare și descrescătoare, atunci $n - m$ este o funcție afină descrescătoare. Dacă, pe de altă parte, pentru $y$ care tinde spre 0, creșterea este pozitivă, se poate scrie ecuația

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = y (a-by)

a

și

b

două reale pozitive

Apoi, prin setarea $K = a / b$ , ecuația devine apoi:

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = ay \ left (1 - {\ frac yK} \ right) \ quad {\ text {cu}} \ quad a, K> 0.

Observația imediată arată că:

funcția constantă $y = K$ este soluția acestei ecuații;
dacă $y < K$ atunci populația crește;
dacă $y > K$ atunci populația scade.

Parametrul $K$ se numește capacitate de încărcare .

Modelul auto-catalitic conduce la aceeași ecuație (creștere proporțională cu populația afectată și populația rămasă)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = \ alpha y (Ky) = \ alpha Ky \ left (1 - {\ frac {y} {K}} \ dreapta).}

Rezoluție continuă a timpului

Căutarea funcțiilor strict pozitive definite și verificarea sistemului $[0; + \ infty [$

$y (0) = y_ {0} ~$
$y '= ay \ left (1 - {\ frac yK} \ right)$

duce la soluția logistică

y (t) = K {\ frac 1 {1+ \ left ({\ frac K {y_ {0}}} - 1 \ right) e ^ {{- at}}}}

unde observăm că populația tinde spre capacitatea de primire K, că crește dacă populația inițială este mai mică decât populația de primire și scade altfel.

Rezoluție discretă de timp

În timp discret, modelul este transformat în

u _ {{n + 1}} - u_ {n} = au_ {n} \ left (1 - {\ frac {u_ {n}} {K}} \ right)

Apoi, pozând

$a + 1 = \ mu$
$v_ {n} = {\ frac {au_ {n}} {\ mu K}}$

relația de recurență devine

v _ {{n + 1}} = \ mu v_ {n} (1-v_ {n}) \,

În această formă este studiat ca o urmărire logistică . Această secvență, deși este foarte simplă în expresie, poate duce la rezultate foarte variate; comportamentul său variază în funcție de valorile μ:

pentru μ între 1 și 3, adică între 0 și 2, secvența converge către și găsim într-adevăr o secvență convergentă spre K $la$ $(v_ {n})$ ${\ frac {\ mu -1} {\ mu}}$ $(A})$
pentru μ mai mare de 3, secvența poate, în funcție de valorile lui μ, oscila între valorile 2, 4, 8, 16 ... sau altfel poate fi haotică . $(v_n)$

Notă și surse

Notă

Vezi în special Martial Schtickzelle , „ Pierre-François Verhulst (1804-1849). Prima descoperire a funcției logistice ”, Populație , Institutul Național de Studii Demografice, vol. 36, n o 3,Mai-iunie 1981, p. 541-556 ( DOI 10.2307 / 1532620 , citiți online ).
Potrivit surselor 1838 în [1] , 1844 în [2] , 1846 în (en) John J. O'Connor și Edmund F. Robertson , "Pierre François Verhulst" , în arhiva MacTutor History of Mathematics , universitatea St. Andrews ( citește online )..

Surse

Pierre-François Verhulst , „ Notificare privind legea că populația continuă să crească ”, Correspondance mathématique et physique , n o 10,1838, p. 113-121 ( citește online )
Pierre-François Verhulst , „ cercetare matematică privind legea de creștere a populației “, noi Memoriile Academiei Regale de Științe și Belles-Lettres de Bruxelles , n ° 18,1845, p. 1-42 ( citiți online )
Pierre-François Verhulst , „ Al doilea memoriu despre legea creșterii populației ”, Memoriile Academiei Regale de Științe, Litere și Arte Plastice din Belgia , nr . 20,1847, p. 1-32 ( citiți online )
Bernard Delmas, Pierre-François Verhulst și legea logistică a populației , în Matematică și Științe sociale (nr. 167, 2004)
Nicolas Bacaër , Istorii ale matematicii și al populațiilor , Éditions Cassini, col. „Sare și fier”,2008, 212 p. ( ISBN 9782842251017 ) , „Verhulst și ecuația logistică”

Vezi și tu

Articol asociat

Model r / K scalabil

linkuri externe

Matematica în dinamica populației de Christelle Magal