Măsurarea imaginii

În teoria măsurării , măsurarea imaginii este o măsurare definită pe un spațiu măsurabil și transferată într-un alt spațiu măsurabil printr-o funcție măsurabilă .

Definiție

Ne oferim două spații măsurabile și , o aplicație măsurabilă și o măsură . Măsurarea imaginii $μ$ de $f$ este o măsură peste notată și definită de: $\ scriptstyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})$ $\ scriptstyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})$ $\ scriptstyle f \ colon X_ {1} \ rightarrow X_ {2}$ $\ scriptstyle \ mu \ colon \ Sigma _ {1} \ rightarrow [0, + \ infty]$ $\ scriptstyle \ Sigma _ {2}$ $\ scriptstyle f _ {\ ast} \ mu$

(f _ {\ ast} \ mu) (B) = \ mu \ left (f ^ {{- 1}} (B) \ right) {\ text {pentru toate}} B \ in \ Sigma _ {2} .

Această definiție se aplică și măsurilor semnate complexe .

Formula modificării variabilei

Formula pentru schimbarea variabilelor este una dintre proprietățile principale: O funcție g pe X 2 este integrabilă față de măsura imaginii $f * μ$ dacă și numai dacă funcția $compusă g\circ f$ este integrabilă față de măsura $μ$ . În acest caz, cele două integrale coincid:

\ int _ {{X_ {2}}} g ~ {\ mathrm d} (f _ {\ ast} \ mu) = \ int _ {{X_ {1}}} g \ circ f ~ {\ mathrm d} \ mu.

Exemple și aplicații

Măsura naturală Lebesgue pe cercul unitar S 1 , văzută aici ca un subset al planului complex ℂ, nu este definită ca măsura imaginii măsurii Lebesgue $λ$ pe realii ℝ, ci a restricției sale, pe care o vom nota și $λ$ , la intervalul $[0, 2π [$ . Fie $f$ $: [0, 2π [\to$ $S$ $1$ bijecția naturală definită de $f$ $($ $t$ $) = e$ $i$ $t$ . Măsura Lebesgue pe S 1 este apoi măsura imaginii $f$ $*$ $λ$ . Această măsurare $f$ $*$ $λ$ poate fi numită și măsură a lungimii arcului sau măsurătoare a unghiului , deoarece $f$ $*$ $λ-$ măsura arcului S 1 este exact lungimea arcului.
Exemplul anterior se extinde pentru a defini măsura Lebesgue pe torul n- dimensional T n . Măsura Lebesgue pe T n este, până la renormalizare, măsura Haar pe conectat compact Lie grup T n .
O variabilă aleatorie este o hartă măsurabilă între un spațiu de probabilitate și ℝ. Măsura de probabilitate a unei variabile aleatoare este măsura de imagine a ℙ de variabila aleatoare X : $\ scriptstyle (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P})$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} = X _ {\ ast} \ mathbb {P} = \ mathbb {P} (X ^ {- 1} (\ cdot)).}$
Luați în considerare funcția măsurabilă $f: X \to X$ și compoziția lui $f$ în sine de $n$ ori: $f ^ {{(n)}} = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {{n {\ text {times}}}} \ colon X \ to X.$ Această funcție iterativă formează un sistem dinamic . Este adesea util să se găsească o măsură $μ$ pe X pe care harta $f o$ lasă neschimbată sau o măsură invariantă (en) , adică care să satisfacă: $f * μ = μ$ .

Referinţă

(ro) VI Bogachev , The Measure Theory , Springer,2007, secțiunile 3.6-3.7