Matrici anticirculatorii
În matematică , matricile anticirculatorii sunt un caz special al matricilor Hankel sau Toeplitz . Cuvântul poate desemna mai multe tipuri de matrice.
Anti-circulante standard
O matrice anticirculantă standard de dimensiunea n cu coeficienți complecși este de formă generală:
VS=(vs.0vs.1vs.2......vs.nu-1vs.1vs.nu-2vs.nu-1vs.0vs.2vs.nu-2vs.nu-1vs.0vs.1...........................vs.nu-1vs.0vs.1vs.2...vs.nu-2){\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} c_ {0} & c_ {1} & c_ {2} & \ dots & \ ldots & c_ {n-1} \\ c_ {1} &&& c_ {n-2 } & c_ {n -1} & c_ {0} \\ c_ {2} && c_ {n-2} & c_ {n-1} & c_ {0} & c_ {1} \\\ dots &&& \ dots & \ dots \\\ dots &&& \ dots & \ dots \\\ dots &&& \ dots & \ dots \\ c_ {n-1} & c_ {0} & c_ {1} & c_ {2} & \ dots & c_ {n-2} \ end {pmatrix}}}
unde coeficienții c i sunt complexi. Valoarea coeficienților rămâne constantă pe diagonalele secundare ale matricei și suma lor în rând, ca cea din coloană, rămâne constantă.
Hankel Anticirculante
O altă definiție oferă matricile Hankel anti -circulante ( g-circulante sau H-skew-circulante ) în opoziție cu matricile Hankel circulante (sau f-circulante), ca matricile Hankel „antisimetrice” în raport cu a doua diagonală a matricei .
Acestea sunt de forma:
VS=(vs.0vs.1vs.2......0vs.1vs.nu-20-vs.nu-2vs.2vs.nu-20-vs.nu-2-vs.nu-3........................-vs.10-vs.nu-2-vs.nu-3...-vs.1-vs.0).{\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} c_ {0} & c_ {1} & c_ {2} & \ dots & \ ldots & 0 \\ c_ {1} &&& c_ {n-2} & 0 & - c_ {n-2} \\ c_ {2} && c_ {n-2} & 0 & -c_ {n-2} & - c_ {n-3} \\\ dots &&& \ dots & \ dots \\\ dots &&& \ dots & \ dots \\ \ dots &&& \ dots && - c_ {1} \\ 0 & -c_ {n-2} & - c_ {n-3} & \ dots & -c_ {1} & - c_ {0} \ end {pmatrix}}.}
Se arată că orice matrice Hankel este suma unei matrice circulante și a unei matrice anticirculante.
Toeplitz Anticirculant
Uneori se numesc matrici anticirculante ale lui Toeplitz, matricile formei:
VS=(vs.0-vs.1-vs.2...-vs.nu-1vs.nu-1vs.0-vs.1-vs.nu-2vs.nu-2vs.nu-1vs.0-vs.nu-3⋮⋱⋮vs.1vs.2vs.3...vs.0).{\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} c_ {0} & - c_ {1} & - c_ {2} & \ dots & -c_ {n-1} \\ c_ {n-1} & c_ {0 } & -c_ {1} && - c_ {n-2} \\ c_ {n-2} & c_ {n-1} & c_ {0} && - c_ {n-3} \\\ vdots &&& \ ddots & \ vdots \\ c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} & \ dots & c_ {0} \ end {pmatrix}}.}
Ele sunt, de asemenea, numite matrice circulante stânga ( înclinate în engleză) și intră în descompunerea matricilor Toeplitz.
Unele proprietăți ale anticirculanților de tip standard
Ele formează un subspatiu vectorial al spațiului pătratelor magice .
Ele nu formează o subalgebră a algebrei matricilor pătrate de dimensiunea n .
Sunt diagonalizabile în ℂ (vezi matricea Hankel ).
Caz particular al dimensiunii 3
Arătăm că orice pătrat magic este scris ca suma unei matrice circulante și a unei matrice anticirculante.
Această descompunere nu este unică și nu mai are loc în dimensiunile superioare.
Note și referințe
-
(în) Ivan Oseledets , " Formule optime asemănătoare Karatsuba pentru unele forme biliniare în GF (2) " , Linge Algebra Appl. , vol. 429, nr . 8,2008, p. 2052-2066, p. 17 din preimprimare
-
(es) Circulantes Matriciales , pe site-ul web Matemáticas y Poesía
-
(în) Vadim Olshevsky , Algoritmi rapizi pentru matrici structurate: teorie și aplicații , AMS ,2001( ISBN 978-0-8218-1921-0 , citit online )
-
(în) Dario Bini și Victor Pan , Calcule polinomiale și matriciale , vol. 1, Birkhäuser ,1994, 415 p. ( ISBN 978-3-7643-3786-5 )
-
(în) Raymond Chang și Michael K. Ng , „ Conjugate Gradient Methods for Toeplitz Systems ” , SIAM Rev. , vol. 38, n o 3,1996, p. 427-482 ( citiți online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">