Matricea aleatorie

În teoria probabilității și fizica matematică , o matrice aleatorie este o matrice ale cărei elemente sunt variabile aleatorii . Scopul teoriei matricilor aleatorii este de a înțelege anumite proprietăți ale acestor matrice, cum ar fi norma operatorului lor, valorile proprii sau valorile lor singulare .

Confruntat cu complexitatea crescândă a spectrelor nucleare observate experimental în anii 1950, Wigner a sugerat înlocuirea operatorului hamiltonian al nucleului cu o matrice aleatorie.

Această ipoteză fructuoasă a dus la dezvoltarea rapidă a unui nou domeniu de cercetare foarte activ în fizica teoretică , care s-a răspândit la teoria numerelor în matematică, având în special o legătură interesantă cu funcția zeta Riemann (a se vedea, de exemplu, articolul pre-publicat înfebruarie 2019de Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen și Don Zagier și comentariile lui Robert C. Smith pe blogul său).

În plus față de aceste exemple, există aplicații ale teoriei matricilor aleatorii:

a sistemelor integrabile ,
haosul cuantic ,
rețeaua QCD ,
gravitația cuantică în două dimensiuni și mai mult prin teoria corzilor și Adăugări Corespondența / CFT ,
de teoriile gauge supersimetrice .

Pentru mai multe detalii, citiți introducerea la teza lui Nicolas Orantin (disponibilă online).

Matricile aleatorii se găsesc și în multe situații de zi cu zi: timp de așteptare pentru trenul de metrou, tsunami, prețuri la bursă, antene de telefonie mobilă, poziția copacilor într-o pădure sălbatică, durata îmbarcării într-un avion etc. De asemenea, s-au dovedit a fi fructuoase în biologie: formă de proteine, cristale etc.

Unele seturi de matrice aleatorii

Matrici Wigner

O matrice Wigner este o matrice aleatorie simetrică ale cărei intrări sunt variabile aleatorii centrate (iid) independente și distribuite identic. De exemplu, dacă este o familie de variabile aleatorii iid conform unei legi Rademacher , matricea simetrică definită de: $N \ ori N$ ${\ displaystyle (X_ {i, j}) _ {i, j \ in \ {1, ..., n \}}}$ ${\ displaystyle M = (M_ {i, j}) _ {i, j \ in \ {1, ..., n \}}}$

{\ displaystyle M_ {i, j} = {\ begin {cases} X_ {i, i} {\ text {si}} i = j, \\ X_ {i, j} {\ text {si}} i < j \\ X_ {j, i} {\ text {si}} i> j \ end {cases}}}

este o matrice Wigner.

Seturi gaussiene

Acestea sunt seturile introduse de Wigner pentru teoria spectrelor nucleare. Există trei seturi:

setul ortogonală Gauss pentru sisteme invariabile în timp (GOE);
setul Gaussian unitar pentru sisteme non-invariante timp inversare (în limba engleză, set unitar Gaussian sau GUE );
și ansamblul simplectic gaussian pentru sisteme cu spin (în limba engleză, ansamblu simplectic gaussian sau GSE ).

În cazul setului GOE, considerăm matrici simetrice reale ale căror elemente matriciale respectă distribuția Gaussiană: $N \ ori N$ $A_ {ij}$

P (A _ {{ij}}) \ prod _ {i} dA _ {{ii}} \ prod _ {{i <j}} dA _ {{ij}} = \ exp \ left (-g {\ mathrm {Tr}} ({} ^ {t} AA) \ right) \ prod _ {i} dA _ {{ii}} \ prod _ {{i <j}} dA _ {{ij}}

Distribuția este invariantă prin transformările ortogonale. În același mod, în setul unitar, se iau în considerare matricile hermitiene, iar distribuția este invariantă prin transformările unitare. În setul GSE, distribuția este invariantă sub acțiunea transformărilor simplectice.

Wigner a dedus distribuția valorilor proprii ale acestor matrice în limită . Este legea semicercului. $N \ to \ infty$

Este posibil să se deducă legea distribuției comune a valorilor proprii printr-o schimbare de bază. Rezultatul este că:

P (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {N}) = C_ {N} \ exp (-g \ sum _ {i} \ lambda _ {i} ^ {2}) \ prod _ { {i <j}} \ mid \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j} \ mid ^ {\ beta}

unde sunt valorile proprii ale matricei, iar în cazul GOE, în cazul GUE, în cazul GSE. $\ lambda _ {i}$ $\ beta = 1$ $\ beta = 2$ $\ beta = 4$

Din aceste distribuții, putem obține legea distribuției diferențelor dintre valorile proprii. Arătăm că, dacă este distanța (normalizată de densitatea stărilor) dintre două valori proprii, probabilitatea ca două valori proprii să fie îndepărtate tinde la zero dacă tinde la zero. Dacă valorile proprii ar fi distribuite uniform, această probabilitate ar fi dată de legea lui Poisson și nu ar tinde spre zero pentru a tinde spre zero. Această proprietate a mulțimilor gaussiene se numește repulsie de nivel. $s$ $s$ $s$ $s$

Seturi de unități

Notat COE, CUE, CSE. De data aceasta, matricile sunt respectiv ortogonale, unitare sau simplectice. Valorile proprii ale acestora sunt numere complexe de modul 1. Freeman Dyson a arătat că studiul distribuției acestor valori proprii echivalează cu studiul mecanicii statistice a unui gaz de particule pe un cerc cu o interacțiune logaritmică cu distanța.

Vezi și tu

Articole similare

Legături externe în franceză

Nicolas Orantin , De la dezvoltarea topologică a modelelor matriciale la teoria topologică a șirurilor: combinatorică a suprafețelor prin geometrie algebrică (teză de doctorat în fizică teoretică, Universitatea din Paris 6),2007, 179 p. ( HAL tel-00173162 )
Bertrand Eynard , „ Universalitatea matricilor aleatorii ”, Pour la science , nr . 487,Mai 2018, p. 34-44

linkuri externe

Robert Smith , „ Polinoamele Jensen, funcția Riemann-zeta și SYK ” ,2019(accesat la 11 octombrie 2019 )
Alan Edelman și N. Raj Rao; Random Matrix Theory , Acta Numerica 14 : 233-297 (2005)
Alan Edelman și Moe Win; Teoria matricei aleatorii și aplicațiile sale , MIT Opencourseware (2004).
Alan Edelman și Moe Win; Infinite Random Matrix Theory , MIT Opencourseware (2004).
B Conrey, P Diaconis, F Mezzadri, P Sarnak și NC Snaith (organizatori); Abordări matriciale aleatorii în teoria numerelor , colocviu al Institutului Isaac Newton pentru Științe Matematice, Universitatea Cambridge (26 ianuarie - 16 iulie 2004).
Matthew R. Watkins; Matrici aleatorii și funcția zeta Riemann , Universitatea Exeter.
NC Snaith , PJ Forrester, JJM Verbaarschot, Developments in Random Matrix Theory , J. Phys. A, vol 36, 2003, R 1.
PJ Forrester Book pe matrici aleatorii
M. Debbah "Aplicații ale teoriei matriciale aleatoare la telecomunicații fără fir"
Alice Guionnet , Deviații mari și calcul stocastic pentru matrici aleatoare mari , Studii de probabilitate 1 : 72-172 (2004)
ZD Bai, Methodologies in spectral analysis of large dimensional random matrices, a review , Statistica Sinica 9 : 611-677 (1999)
R. Couillet, M. Debbah, „Random Matrix Theory Methods for Wireless Communications”, Cambridge University Press, 2011.

Bibliografie

(ro) Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen și Don Zagier „ Polinoame Jensen pentru funcția zeta Riemann și alte secvențe ”,2019.
Madan Lal Mehta , „Despre proprietățile statistice ale distanțelor de nivel în spectrele nucleare”, Nuclear Physics 18 (1960), 395-419
ML Mehta, Matrici aleatorii . Această „Biblie” a făcut obiectul a trei ediții de volume în creștere:
- Matrici aleatorii și teoria statistică a nivelurilor de energie , Academic Press (New York - 1967), 259 pp.
- Matricele aleatorie ( 2 e ed revizuit și extins.), Academic Press (New York, San Diego - 1991), 562 pp.
- Matrici aleatorii ( 3 E , Matematica pură și aplicată Seria 142, Elsevier (Londra - 2004) ed.), 688 pp. ( ISBN 0-12-088409-7 )
ML Mehta, „Matrici aleatorii în fizica nucleară și teoria numerelor”, în JE Cohen, H. Kesten și CM Newman (eds.), Proceedings of the AMS-IMS-SIAM Joint Summer Conference, Bowdoin College, Brunswick, Maine, SUA ( Iunie 1984) , Contemporary Mathematics 50 (1986), 295-309.
Édouard Brézin , Vladimir Kazakov , Didina Serban, Paul Wiegmann (ro) și Anton Zabrodin (eds.), „Applications of Random Matrices in Physics”, în Proceedings of the NATO Advanced Study Institute / Les Houches Summer School, 6-25 iunie 2004 , Les Houches (Franța) , NATO Science Series II , vol. 221, Springer-Verlag, (Berlin - 2006). ( ISBN 1-4020-4529-8 )
Bertrand Eynard, An introduction to Random Matrices , note of a course given at the Service de Physique Théorique du CEA (Saclay - septembrie 2000). Text complet disponibil aici .
Pierre Cartier , Bernard Julia , Pierre Moussa și Pierre Vanhove (eds.), Frontiers in Number Theory, Physics & Geometry (I) - On Random Matrices, Zeta Functions & Dynamical Systems , Les Houches Lectures Notes, Springer-Verlag, 2006 ( ISBN) 3-540-23189-7 )
Philippe Di Francesco, Paul Ginsparg și Jean Zinn-Justin , 2D Gravity and Matrici aleatorii , Phys.Rept. 254 (1995) 1-133, " hep-th / 9306153 " , text deschis, pe arXiv . ( O introducere foarte bună a subiectului. )
VA Malyshev și AM Vershik (eds.), „Combinatorie asimptotică cu aplicații la fizica matematică”, în Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, desfășurat la Sankt Petersburg, Rusia, 9-22 iulie 2001 , NATO Science Series II Vol. 77, Springer-Verlag ( ISBN 1-4020-0792-2 )