Magnetostatic

Magnetostatice este studiul magnetismului în situațiile în care câmpul magnetic este independentă de timp.

Mai precis, magnetostatica se preocupă de calcularea câmpurilor magnetice atunci când sunt cunoscute sursele acestor câmpuri. Există două surse posibile pentru câmpuri magnetice:

pe de o parte, curenții electrici;
pe de altă parte, materia magnetică.

Relațiile locale

Relațiile fundamentale ale magnetostaticii sunt deduse din ecuațiile lui Maxwell în materie prin îndepărtarea derivatelor în raport cu timpul. Când aceste variații temporale sunt îndepărtate, ecuațiile electricității și magnetismului sunt decuplate, ceea ce permite studiul separat al electrostaticii și magnetostaticii. Relațiile fundamentale ale magnetostaticii, scrise în forma lor locală, sunt:

\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0

\ nabla \ times {\ mathbf {H}} = {\ mathbf {j}}

B desemnează câmpul magnetic , numit uneori și inducție magnetică sau densitate de flux magnetic ;
H denotă excitație magnetică , numită uneori și câmp magnetic ;
j este densitatea curentului electric;
∇ este operatorul nabla , care este folosit aici pentru a scrie divergența (∇⋅) și rotația (∇ ×).

Notă ambiguitatea expresiei câmpului magnetic care poate, în funcție de context , reprezintă B sau H . În restul articolului, vom desemna câmpurile în mod explicit prin B sau H ori de câte ori este important să se facă distincție.

La relațiile de mai sus, trebuie să-l adăugăm pe cel care leagă B și H :

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, (\ mathbf {H} + \ mathbf {M})}

M este magnetizarea mediului considerat;
μ 0 este o constantă fundamentală numită permeabilitatea magnetică a vidului.

Vedem că distincția dintre B și H este cu adevărat utilă numai în mediile magnetizate (unde M ≠ 0 ). Se presupune că magnetizarea este cunoscută, relația de mai sus face posibilă calcularea lui B foarte simplu în funcție de H și invers. În consecință, de fiecare dată când dorim să calculăm un câmp magnetic, putem alege să calculăm indiferent B sau H , celălalt fiind dedus imediat. Aceste două opțiuni corespund celor două abordări ale calculelor magnetostatice:

abordarea amperială;
abordarea Coulomb.

Abordare amperială

Abordarea ampérienne urmărește să calculeze B . În prezent este favorizat în educație, deoarece este aproape de electromagnetism în vid. Ecuațiile care trebuie rezolvate sunt:

\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, (\ mathbf {j} + \ nabla \ times \ mathbf {M})}

Se poate observa că termenul ∇ × M din a doua ecuație acționează ca un curent suplimentar, ceea ce a făcut ca acesta să fie interpretat ca o densitate microscopică de curent (numită curent legat ) care rezultă din mișcarea electronilor în orbitele lor atomice. Această interpretare clasică a unui fenomen cuantic are totuși limitele sale: deși descrie suficient de bine magnetismul rezultat din impulsul unghiular orbital , nu ține cont pe deplin de ceea ce este legat de rotirea electronilor.

În practică, abordarea amperei este preferată în situațiile în care nu există material magnetizat și câmpul se datorează exclusiv curentului. Ne vom plasa apoi în acest caz în care avem apoi ∇ × B = μ 0 j . Pentru a găsi cazul general (în prezența materialului magnetic) înlocui doar j de j + ∇ × M .

Curenți de suprafață legați

Se întâmplă adesea să avem de-a face cu sisteme cu suprafețe în care magnetizarea este discontinuă. De exemplu, dacă un magnet cu magnetizare uniformă este scufundat în vid, magnetizarea de pe suprafața magnetului se schimbă discontinuu de la o valoare finită (interior) la zero (exterior). În acest caz, densitatea de curent legată ∇ × M poate fi infinită. Într-un astfel de caz, se înlocuiește la suprafață densitatea volumică a curentului legată de o densitate a suprafeței :

{\ displaystyle \ mathbf {j} _ {ms} = (\ mathbf {M} _ {1} - \ mathbf {M} _ {2}) \ times \ mathbf {n} _ {12}}

unde M 1 și M 2 sunt magnetizările de pe fiecare parte a suprafeței discontinuității și n 12 este vectorul unitar normal la această suprafață, orientat de la 1 la 2. Efectul asupra câmpului acestui curent de suprafață este de a induce o discontinuitate a lui B :

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, \ Delta \ mathbf {M} _ {\ parallel}}

Δ M și Δ B reprezintă discontinuitățile lui M și B (numărate în aceeași direcție);
Δ M ∥ reprezintă partea lui Δ M care este paralelă cu suprafața.

Această discontinuitate afectează doar partea B paralelă cu suprafața. Partea normală a lui B rămâne continuă.

Relații integrale

Două relații interesante pot fi obținute prin aplicarea teoremei lui Stokes la relațiile locale. Relația ∇⋅ B = 0 ne oferă:

{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}

unde integrala, care se întinde pe o suprafață S închisă, este fluxul de B . Aceasta este teorema fluxului-divergență . Cealaltă relație se obține prin integrarea ∇ × B = μ 0 j pe o suprafață deschisă S:

{\ displaystyle \ anoint _ {\! \! \! \! \ partial S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ iint _ {S} \ mathbf { j} \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

unde integrala stângă este circulația lui B pe conturul lui S. Această relație este cunoscută sub numele de teorema lui Ampere . Partea dreaptă este interpretată pur și simplu ca curentul care curge prin suprafață.

Aceste relații integrale fac adesea posibilă calcularea lui B pur și simplu în situații de simetrie ridicată.

Exemplu

Sau pentru a calcula câmpul creat de un conductor rectiliniu infinit. Considerațiile de simetrie dau orientarea câmpului: acesta se rotește în planuri perpendiculare pe firul conductor. Modulul său poate fi calculat prin aplicarea teoremei lui Ampère pe suprafața S delimitată de o linie de câmp cu rază a :

{\ displaystyle \ anoint _ {\! \! \! \! \ partial S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = 2 \, \ pi \, a \, B = \ mu _ {0} \, I}

unde I este curentul transportat de fir. Deducem modulul lui B :

{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2 \, \ pi \, a}}}

Vedem că câmpul scade în proporție inversă cu distanța față de fir.

Potențial vectorial

Divergența dintre B fiind zero, putem obține B dintr - un vector potențial A :

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}

Pentru a asigura unicitatea lui A , este, în general, forțat să respecte ecartamentul Coulomb :

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}

Prin care, A este o soluție a ecuației Poisson :

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} + \ mu _ {0} \, \ mathbf {j} = \ mathbf {0}}

Soluție integrală

Putem arăta că A este dat de integral

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \, \ pi}} \ iiint {\ frac {\ mathbf {j}} {r}} \ mathrm {d} v }

unde integralul se extinde la tot spațiul (sau cel puțin la zonele în care j ≠ 0 ) și:

r denotă distanța dintre punctul curent al integralului și cel în care se calculează A;
dv este elementul de volum .

La fel, B este dat de:

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \, \ pi}} \ iiint {\ frac {\ mathbf {j} \ times \ mathbf {r}} {r ^ {3}}} \ mathrm {d} v}

r este vectorul care merge de la punctul curent al integralei la cel în care se calculează B ;
r este modulul lui r .

Această ultimă relație este cunoscută sub numele de legea lui Biot și a lui Savart .

Dacă există magnetizat materie, trebuie să luăm în considerare desigur curenții asociate înlocuirea j cu j + ∇ × M . În prezența curenților de suprafață legați, este necesar să se adauge la volum integral integralele de suprafață care sunt deduse din precedentele prin substituție

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {M} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto \ mathbf {j} _ {ms} \, \ mathrm {d} S}

O situație întâlnită frecvent este aceea în care curentul curge într-un circuit filiform și unde secțiunea firului este neglijată. În acest caz, integralele de volum pentru A și B sunt înlocuite cu integrale liniare de-a lungul firului prin intermediul substituției

{\ displaystyle \ mathbf {j} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto I \, \ mathrm {d} \ mathbf {l}}

în cazul în care am este curentul în sârmă și lungimea elementului , orientat de-a lungul eu .

Exemple

Fir infinit :

Putem lua exemplul anterior și putem calcula câmpul creat de un fir infinit cu legea lui Biot și Savart :

{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {4 \, \ pi}} \ int \ cos (\ theta) {\ frac {\ mathrm {d} l} {r ^ { 2}}} = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \, \ pi}} \ int {\ frac {1} {a}} \ mathrm {d} (\ sin (\ theta)) = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2 \, \ pi \, a}}}

Alte exemple :

Câmp creat pe axa unei bobine circulare cu raza R:

{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2}} {\ frac {R ^ {2}} {(R ^ {2} + z ^ {2}) ^ {3 / 2}}}}

Câmp creat de un solenoid infinit de lung :

{\ displaystyle B = \ mu _ {0} \, n_ {1} \, I}

în interiorul solenoidului, câmpul fiind zero în exterior. Cantitatea n 1 desemnează numărul de ture pe unitate de lungime.

Abordarea Coulomb

În abordarea Coulomb se atașează la calcularea H . Această abordare își are rădăcinile în activitatea lui Coulomb asupra forțelor generate de polii magneților. Este încă utilizat în mod obișnuit de magnetici. Este vorba de rezolvarea ecuațiilor pentru H :

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {H} = \ rho _ {m}}

\ nabla \ times {\ mathbf {H}} = {\ mathbf {j}}

unde am definit

{\ displaystyle \ rho _ {m} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {M}}

Prin analogie cu electrostatica, ρ m se numește densitate de sarcină magnetică . Rețineți că, spre deosebire de sarcinile electrice, sarcinile magnetice nu pot fi izolate. Teorema fluxului divergență într - adevăr arată că încărcătura magnetică totală a unei probe de materie este zero. Prin urmare, un magnet are întotdeauna la fel de multă sarcină pozitivă (polul nord) ca negativă (polul sud).

Încărcări magnetice de suprafață

În practică, sarcina magnetică se găsește adesea sub forma unei sarcini de suprafață localizate pe suprafețele magnetului. Această încărcare de suprafață rezultă din discontinuitățile componentei M normale la suprafață, unde -∇⋅ M este local infinit. Suprafețele astfel încărcate se numesc polii magnetului. Suprafața încărcată pozitiv este polul nord, cea încărcată negativ este polul sud. Pe aceste suprafețe, se înlocuiește densitatea volumului sarcinii cu o densitate a suprafeței:

{\ displaystyle \ sigma _ {m} = (\ mathbf {M} _ {1} - \ mathbf {M} _ {2}) \ cdot \ mathbf {n} _ {12}}

Această sarcină de suprafață are ca efect inducerea unei discontinuități de H :

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {H} = - \ Delta \ mathbf {M} _ {\ perp}}

unde Δ M ⟂ este partea din Δ M care este normală la suprafață. Această discontinuitate afectează doar partea de H normală la suprafață. Partea paralelă a lui H rămâne continuă.

Relații integrale

Ca și în cazul lui B , aceste relații decurg din aplicarea teoremei lui Stokes la relațiile locale. De asemenea, fac posibilă calcularea H în cazuri de simetrie ridicată. Integrarea lui ∇⋅ H = ρ m pe un volum finit V dă:

{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ partial V} \ mathbf { H} \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ iiint _ {V} \ rho _ {m} \ mathrm {d} v}

unde roata din stânga, care se desfășoară pe suprafața definitorie V este debitul care iese H . Membrul din mâna dreaptă nu este altceva decât taxa totală conținută în volum. Cealaltă relație se obține prin integrarea ∇ × H = j pe o suprafață deschisă S:

{\ displaystyle \ anoint _ {\! \! \! \! \ partial S} \ mathbf {H} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ iint _ {S} \ mathbf {j} \ mathrm {d } \ mathbf {S}}

în cazul în care stânga este plin de trafic H pe conturul S. Aceasta este o versiune de Amperi scrise pentru H .

În practică, abordarea Coulomb este preferată în situațiile în care câmpul este generat exclusiv de materie magnetizată (magneți), în absența curenților electrici. Ne vom plasa apoi în acest caz în care avem ∇ × H = 0 . În cazul general în care există atât curenți, cât și magneți, am calcula separat contribuția la H provenită de la curenți (printr-o abordare amperială) și cea provenită de la magneți (prin abordarea Coulomb).

Potențial scalar

Deoarece am presupus ∇ × H = 0 (fără curenți), putem deriva H dintr-un potențial scalar φ prin:

{\ displaystyle \ mathbf {H} = - \ nabla \ phi}

prin care φ este soluția ecuației Poisson :

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + \ rho _ {m} = 0}

Faptul că H derivă dintr-un potențial scalar în timp ce B derivă dintr-un potențial vectorial merită adesea pentru abordarea Coulomb în favoarea numericilor.

Soluție integrală

Arătăm, ca și în electrostatică, că φ și H sunt date de integrale:

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint {\ frac {\ rho _ {m}} {r}} \ mathrm {d} v}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint \ rho _ {m} {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}} ~ \ mathrm {d} v}

În cazul frecvent în care există sarcini de suprafață, este necesar să adăugați la aceste integrale contribuții de suprafață care se obțin prin substituție:

{\ displaystyle \ rho _ {m} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto \ sigma _ {m} \, \ mathrm {d} S}

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

Magnétisme: Fondements , lucrare colectivă editată de Étienne Du Trémolet de Lacheisserie, EDP Sciences, ( ISBN 2-86883-463-9 ) .
(ro) Histerezis în magnetism: pentru fizicieni, oameni de știință din materiale și ingineri , de Giorgio Bertotti, Academic Press.