Problema celor patru paturi , uneori numită „puzzleul celor patru paturi”, este o problemă aritmetică recreativă : „Care sunt numerele naturale pe care le putem scrie folosind de patru ori numărul patru și operațiile obișnuite? "
Jocul a fost menționat pentru prima dată în Knowledge: An Illustrated Magazine of Science publicat în 1881 de Richard A. Proctor , un astronom englez renumit pentru desenarea uneia dintre primele hărți ale planetei Marte.
În cartea sa Mathematical Recreations and Essays , WW Rouse Ball din 1892 oferă o descriere precisă a acestuia și o prezintă ca „ o distracție matematică, care ar fi fost oferită pentru prima dată în 1881” .
Există mai multe variante ale jocului, conform simbolurilor matematice pe care ni le permite, știind că, desigur, toate acceptă adunarea ("+"), scăderea ("-"), înmulțirea ("×"), divizarea. ("÷" ) și paranteze:
Acceptăm uneori funcția inversă („1 / n”), sub-factorialul (notat! N = n! · (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! -. .. ± 1 / n!), Suma (exemplu :) , chiar operații originale, cum ar fi produsul de numere mai mici de aceeași paritate ("n !!", de exemplu 9 !! = 9x7x5x3x1 ) sau suma numerelor mai mici ("n?", de exemplu 4? = 4 + 3 + 2 + 1) . Repetarea infinită a zecimalei 4 poate fi acceptată sau nu: ", " (pentru 0.4444 ... = 4/9 ).
Pe de altă parte, operatorul de logaritm nu este autorizat, deoarece se poate exprima sistematic orice număr întreg prin următoarea formulă:
Iată exemple de soluții pentru primele 23 de numere naturale, folosind reguli clasice. Pentru toată lumea, există multe soluții corecte. Expresiile în albastru se obligă să folosească doar patru numere întregi 4 (mai degrabă decât patru cifre 4) și operații aritmetice elementare. Cei cu caractere italice folosesc același operator de mai multe ori.
0 = 4 ÷ 4 – 4 ÷ 4 = 44 − 44 1 = 4 ÷ 4 + 4 − 4 = 44 ÷ 44 2 = 4 −(4 + 4)÷ 4 = (44 + 4) ÷ 4! 3 = (4 × 4 − 4)÷ 4 = (4 + 4 + 4) ÷ 4 4 = 4 + 4 ×(4 − 4) = −44 + 4! + 4! 5 = (4 × 4 + 4)÷ 4 = (44 − 4!) ÷ 4 6 = (4 + 4)÷ 4 + 4 = 4,4 + 4 ×,4 7 = 4 + 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 − 4 8 = 4 ÷ 4 × 4 + 4 = 4,4 − ,4 + 4 9 = 4 ÷ 4 + 4 + 4 = 44 ÷ 4 − √4 10 = 4 ÷√4 + 4 ×√4 = (44 − 4) ÷ 4 11 = (4!×√4 - 4)÷ 4 = 44 / (√4 + √4) 12 = 4 ×(4 − 4 ÷ 4) = (44 + 4) ÷ 4 13 = (4!×√4 + 4)÷ 4 = (4 − ,4) ÷ ,4 + 4 = 44 ÷ 4 + √4 14 = 4 × 4 - 4 ÷√4 = 4 × (√4 + √4) - √4 15 = 4 × 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 + 4 16 = 4 × 4 + 4 − 4 = (44 − 4) ×,4 17 = 4 × 4 + 4 ÷ 4 = (44 + 4!)÷ 4 18 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷ √4) − 4 19 = 4!−(4 + 4 ÷ 4) = (4 + 4 − ,4) ÷ ,4 20 = 4 ×(4 + 4 ÷ 4) = (44 − 4) ÷ √4 21 = 4!− 4 + 4 ÷ 4 = (44 − √4) ÷ √4 22 = 4!÷ 4 + 4 × 4 = 44 ÷ (4 − √4) 23 = 4!+ 4 ÷ 4 −√4 = (44 + √4) ÷ √4 24 = 4 × 4 + 4 + 4 = (44 + 4) ÷ √4 25 = 4!− 4 ÷ 4 +√4 = (4 + 4 + √4) ÷ ,4 26 = 4!+ √4 + 4 - 4 27 = 4!+ √4 + (4 ÷ 4) 28 = (4 + 4)×4 − 4 = 4!+ 4 + 4 - 4 29 = 4!+ 4 + (4 ÷ 4) 30 = 4!+ 4 + 4 - √4 31 = 4!+ (4! + 4) ÷ 4 32 = 4 x 4 + 4 x 4Este deosebit de dificil să se rezolve unele numere. Deci, pentru 113, David A. Wheeler a sugerat:
Un alt exemplu de utilizare a funcției gamma : 157 = (Γ (4)! + 4 ÷ 4) - 4!
Acceptarea utilizării procentului („%”) în formule - în special în numitor - permite accesul la un set mult mai mare de numere. De exemplu: 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.
Problema și generalizările sale (cinci 5s, șase 6s etc.) pot fi rezolvate printr-un algoritm simplu, care utilizează tabele care leagă numere naturale și expresii pe baza numărului ales. Un astfel de tabel există pentru fiecare număr n de apariții ale d. De exemplu, dacă d = 4, tabelul pentru două apariții ale lui d va conține în mod special perechea (8; 4 + 4); că pentru trei apariții de d va conține perechea (2; (4 + 4) / 4) etc. Tabelele pentru n = 1 și n = 2 conțin formulele elementare, care nu sunt combinația de formule mai mici. Astfel, pentru n = 1:
T[4] := 4 T[2] := √4 T[4/10] := .4 T[4/9] := .4... etc.și pentru n = 2:
T[44] := 44 etc.Sarcina constă atunci în referirea prin inducție la aceste tabele, începând de la n = 1 până în exemplul nostru n = 4. Pentru un n dat, construim tabelul listând combinațiile relevante de formule mai mici.
Notația, 6 ... aici reprezintă numărul 2/3, cu 6 în zecimal recurent .
241 = ((,6+((6+6)*(6+6)))/,6) 242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/,6)) 243 = (6+((6*(,6*66))-,6)) 244 = (,6...*(6+(6*(66-6)))) 245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6) 246 = (66+(6*((6*6)-6))) 247 = (66+((6+((6)!/,6...))/6)) 248 = (6*(6+(6*(6-(,6.../6))))) 249 = (,6+(6*(6+((6*6)-,6)))) 250 = (((6*(6*6))-66)/,6) 251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6))Putem concepe alte variante ale jocului înlocuind cvartetul de 4 cu orice alt set de numere, de exemplu cele care alcătuiesc un an de naștere: 1, 9, 6 și 5 pentru 1965.