Lemma Grönwall

În matematică , lema lui Grönwall , numită și inegalitatea Grönwall, numită după Thomas Hakon Grönwall, care a stabilit-o în 1919, permite estimarea unei funcții care satisface o anumită inegalitate diferențială. Lema există în două forme, diferențial și integral.

Lema lui Grönwall constituie justificarea și instrumentul pentru obținerea multor aproximări ale soluțiilor ecuațiilor diferențiale obișnuite. În special, este folosit pentru a demonstra unicitatea unei soluții la problema Cauchy, prin teorema Cauchy-Lipschitz .

Formă integrală

Dacă și sunt funcții continue care îndeplinesc: ψ≥0{\ displaystyle \ psi \ geq 0}ϕ{\ displaystyle \ phi}

∀t≥t0ϕ(t)≤K+∫t0tψ(s)ϕ(s)ds{\ displaystyle \ forall t \ geq t_ {0} \ quad \ phi (t) \ leq K + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \ phi (s) \, \ mathrm {d} s}

unde este o constantă, atunci: K{\ displaystyle K}

∀t≥t0ϕ(t)≤Kexp⁡(∫t0tψ(s)ds){\ displaystyle \ forall t \ geq t_ {0} \ quad \ phi (t) \ leq K \ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \, \ mathrm { d} s \ dreapta)}. Demonstrație

Fie . f(t)=K+∫t0tψ(s)ϕ(s)dsexp⁡(∫t0tψ(s)ds){\ displaystyle f (t) = {\ frac {K + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \ phi (s) \, \ mathrm {d} s} {\ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \, \ mathrm {d} s \ right)}}}

Asa de, f′(t)=ψ(t)ϕ(t)-K-∫t0tψ(s)ϕ(s)dsexp⁡(∫t0tψ(s)ds)≤0{\ displaystyle f '(t) = \ psi (t) {\ frac {\ phi (t) -K- \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \ phi (s) \ , \ mathrm {d} s} {\ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \, \ mathrm {d} s \ right)}} \ leq 0}

prin urmare , adică funcția de limită superioară a ipotezei este ea însăși crescută cu cea a concluziei. ∀t≥t0f(t)≤f(t0)=K{\ displaystyle \ forall t \ geq t_ {0} \ quad f (t) \ leq f (t_ {0}) = K}

În special, dacă și atunci . K=0{\ displaystyle K = 0}ϕ≥0{\ displaystyle \ phi \ geq 0}ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Forma diferențială

Dacă se menține următoarea ecuație diferențială :

dϕdt(t)≤ψ(t)ϕ(t){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} (t) \ leq \ psi (t) \ phi (t)},

atunci avem inegalitatea:

ϕ(t)≤ϕ(t0)exp⁡(∫t0tψ(s)ds){\ displaystyle \ phi (t) \ leq \ phi (t_ {0}) \ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \, \ mathrm {d} s \ dreapta)}

pentru . t≥t0{\ displaystyle t \ geq t_ {0}}

În special, dacă , atunci . ϕ(t0)=0{\ displaystyle \ phi (t_ {0}) = 0}∀t≥t0ϕ(t)≤0{\ displaystyle \ forall t \ geq t_ {0} \ quad \ phi (t) \ leq 0}

Este important de reținut că forma diferențială a lemei lui Grönwall rămâne adevărată fără presupunerea pozitivității asupra funcției . ψ{\ displaystyle \ psi}

Formă discretă

Versiunea discretă a lemei lui Grönwall apare în literatură într-o multitudine de variații. În prezent este folosit pentru a studia stabilitatea numerică a diagramelor de integrare.

Luați în considerare următoarele trei secvențe de numere reale pozitive:

Δtnu{\ displaystyle \ Delta t_ {n}} pasul de timp la fiecare iterație, enu{\ displaystyle e_ {n}}eroarea totală (acumulată) la iterație ,nu{\ displaystyle n} εnu{\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}eroarea suplimentară adusă de iterație .nu{\ displaystyle n}

Să luăm în considerare și numărul real pozitiv care reprezintă un factor de amplificare a erorii. λ{\ displaystyle \ lambda}

În cele din urmă, să adăugăm, pentru a simplifica scrierea:

tnu{\ displaystyle t_ {n}}timpul de iterație ,nu{\ displaystyle n}

astfel încât . tnu=t0+∑eu=0nu-1Δteu{\ displaystyle t_ {n} = t_ {0} + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ Delta t_ {i}}

Dacă în plus erorile succesive sunt legate de

∀nu≥0enu+1≤(1+λΔtnu)enu+εnu{\ displaystyle \ forall n \ geq 0 \ quad e_ {n + 1} \ leq (1+ \ lambda \ Delta t_ {n}) e_ {n} + \ varepsilon _ {n}},

asa de :

enu≤e(tnu-t0)λe0+∑eu=0nu-1eλ(tnu-teu+1)εeu{\ displaystyle e_ {n} \ leq e ^ {(t_ {n} -t_ {0}) \ lambda} e_ {0} + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} e ^ {\ lambda (t_ {n} -t_ {i + 1})} \ varepsilon _ {i}}.

Demonstrația se face prin inducție notând că pentru toate . 1+μ≤eμ{\ displaystyle 1+ \ mu \ leq e ^ {\ mu}}μ≥0{\ displaystyle \ mu \ geq 0}

Vezi și tu

(ro) JA Oguntuase, „  On an inequality of Gronwall  ” , Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics , vol.  2, n o  1,2001( citiți online [ arhiva de28 iulie 2008] )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">