Teorema Borel-Cantelli
Borel-Cantelli sau Lema lui Borel-Cantelli , numit după matematicianul Emile Borel și Francesco Paolo Cantelli , este un rezultat al teoriei măsurării utilizate pe scară largă în teoria probabilităților .
Introducere
În teoria probabilităților, această teoremă se referă la o succesiune de evenimente și afirmă că:
Lema Borel-Cantelli - Dacă suma probabilităților unei secvențe de evenimente într-un spațiu de probabilitate este finită, atunci probabilitatea ca o infinitate dintre ele să apară simultan este zero.
(LAnu)nu≥0{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}} (Ω,LA,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}
Independența evenimentelor nu este necesară. De exemplu, luați în considerare o secvență de variabile aleatorii , astfel încât, pentru toți ,
(Xnu)nu≥1{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 1}}nu≥1{\ displaystyle n \ geq 1}
P(Xnu=0)=1nu2.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = 0) = {\ frac {1} {n ^ {2}}}.}
Suma este finit, astfel încât , conform Borel-Cantelli lema probabilitatea ca are loc o infinitate de indici este 0. Cu alte cuvinte, cu o probabilitate de 1, este non-zero , de la un anumit rang (aleatoriu) Prin urmare , am aplicat lema Borel-Cantelli la succesiunea evenimentelor definite de
P(Xnu=0){\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = 0)}Xnu=0{\ displaystyle X_ {n} = 0}nu{\ displaystyle n}Xnu{\ displaystyle X_ {n}}nu0.{\ displaystyle n_ {0}.}(LAnu)nu≥0{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}
LAnu={Xnu+1=0}={ω∈Ω | Xnu+1(ω)=0}{\ displaystyle A_ {n} = \ {X_ {n + 1} = 0 \} = \ {\ omega \ in \ Omega \ | \ X_ {n + 1} (\ omega) = 0 \}}.
Limita superioară a seturilor
Definiție - Limita superioară a unei secvențe ( A n ) n ≥0 de părți ale unui set este setul de elemente de astfel încât afirmația este valabilă pentru o infinitate de indici .
Ω{\ displaystyle \ Omega}lim supnuLAnu{\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n}}ω{\ displaystyle \ omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}{ω∈LAk}{\ displaystyle \ {\ omega \ în A_ {k} \}}k≥0{\ displaystyle k \ geq 0}
Cu alte cuvinte, putem spune că dacă și numai dacă setul este infinit , sau altfel nelimitat . O formulare echivalentă este după cum urmează: pentru toate , putem găsi astfel încât . Această ultimă formulare oferă o scriere convenabilă a limitei superioare a seturilor folosind operații elementare de set:
ω∈lim supnuLAnu{\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}{k≥0 | ω∈LAk}{\ displaystyle \ {k \ geq 0 \ \ vert \ \ omega \ în A_ {k} \}}nu≥0{\ displaystyle n \ geq 0}k≥nu{\ displaystyle k \ geq n}ω∈LAk{\ displaystyle \ omega \ în A_ {k}}
lim supnuLAnu=⋂nu≥0(⋃k≥nuLAk).{\ displaystyle \ limsup _ {n} A_ {n} = \ bigcap _ {n \ geq 0} \, \ left (\ bigcup _ {k \ geq n} A_ {k} \ right).}
Sub influența terminologiei anglo-saxone, vom spune uneori că, dacă și numai dacă „ infinit de des ” sau „ infinit de des ”, de unde notația întâlnită în anumite lucrări:
ω∈lim supnuLAnu{\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}{ω∈LAk}{\ displaystyle \ {\ omega \ în A_ {k} \}}
P(lim supnuLAnu)=P(LAnuio).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} A_ {n} \ right) = \ mathbb {P} \ left (A_ {n} \ quad {\ text {io}} \ right). }
În cele din urmă, rețineți că definiția " dacă și numai dacă aparține unei infinități de " poate fi înșelătoare: dacă, de exemplu, toate părțile sunt egale, poate fi cea care aparține pentru o infinitate de indici și, prin urmare, poate fi aceea care aparține fără atât de mult că aparține unei infinități de (deoarece există, în partea de jos, doar una ).
ω∈lim supnuLAnu{\ displaystyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}} ω{\ displaystyle \ omega} LAk{\ displaystyle A_ {k}}LAk{\ displaystyle A_ {k}}ω{\ displaystyle \ omega}LAk{\ displaystyle A_ {k}}k{\ displaystyle k}ω{\ displaystyle \ omega}lim supnuLAnu,{\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n},}ω{\ displaystyle \ omega}LAk{\ displaystyle A_ {k}}LAk{\ displaystyle A_ {k}}
Teorema Borel-Cantelli (teoria măsurării)
Pentru un spațiu general măsurat , lema Borel-Cantelli ia următoarea formă:
(X,LA,μ){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}
Teorema Borel-Cantelli - Să introducem o succesiune . da
(LAnu)nu≥0{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}LA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
∑nu≥0μ(LAnu)<+∞,{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mu (A_ {n}) <+ \ infty,}
asa de
μ(lim supnuLAnu)=0.{\ displaystyle \ mu (\ limsup _ {n} A_ {n}) = 0.}
Demonstrație
Chiar dacă înseamnă înlocuirea lui X cu uniunea lui A n , putem presupune fără pierderea generalității că măsurarea μ este finită . Să pozăm
Bnu=⋃k≥nuLAk,{\ displaystyle B_ {n} = \ bigcup _ {k \ geq n} A_ {k},}și observați că B n este o secvență descrescătoare (pentru includere) a elementelor din deoarece, prin urmare (prin finitudinea μ )
LA,{\ displaystyle {\ mathcal {A}},}Bnu=LAnu∪Bnu+1{\ displaystyle B_ {n} = A_ {n} \ cup B_ {n + 1}}
μ(⋂nu≥0Bnu)=limnu μ(Bnu).{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcap _ {n \ geq 0} B_ {n} \ right) = \ lim _ {n} \ \ mu (B_ {n}).}În plus μ ( B n ) este mărit cu
rnu=∑k≥nuμ(LAk),{\ displaystyle r_ {n} = \ sum _ {k \ geq n} \ mu (A_ {k}),}care este restul unei serii convergente , deci
limnu μ(Bnu)=0.{\ displaystyle \ lim _ {n} \ \ mu (B_ {n}) = 0.}La fel de
lim supnuLAnu=⋂nu≥0Bnu,{\ displaystyle \ limsup _ {n} A_ {n} = \ bigcap _ {n \ geq 0} B_ {n},}concluzionăm că
μ(lim supnuLAnu)=0.{\ displaystyle \ mu \ left (\ limsup _ {n} A_ {n} \ right) = 0.}
Lema Borel-Cantelli (probabilități)
Un spațiu probabilizat este un caz special al unui spațiu măsurat, prin faptul că se presupune în continuare că , în timp ce în teorema generală, măsura (pozitivă) μ nu se presupune a fi finită a priori . În special, lema Borel-Cantelli dată în introducere este o formă slăbită a teoremei Borel-Cantelli dată în secțiunea anterioară. Poate că Lema Borel-Cantelli este mai popular în probabilitate, în cazul în care este esențial în Kolmogorov lui dovada a legii puternice de un număr mare (dacă este doar un exemplu este de a fi dat). În cadrul probabilistic, o formulare mai formală a lemei dată într-un limbaj intuitiv în introducere ar putea fi, prin urmare, scrisă:
(Ω,LA,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}P(Ω)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ Omega \ right) = 1}
Lema Borel-Cantelli - Într-un spațiu de probabilitate să luăm în considerare o succesiune de elemente ale . da
(Ω,LA,P),{\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right),}(LAnu)nu≥0{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}LA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
∑nu≥0P(LAnu)<+∞,{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mathbb {P} (A_ {n}) <+ \ infty,}
asa de
P(lim supnuLAnu)=0.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ limsup _ {n} A_ {n}) = 0.}
Legea lui Borel a zero-unu
Lema lui Borel-Cantelli nu trebuie confundată cu legea lui Borel a zero-unu , uneori numită a doua lema a lui Borel-Cantelli :
Legea lui Borel a zero-unu - Dacă evenimentele sunt independente , atunci este egal cu 0 sau 1 în funcție de faptul că termenul general de serie este convergent sau divergent.
LAnu{\ displaystyle A_ {n}}P(lim supnuLAnu){\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {P} (\ limsup _ {n} A_ {n})}P(LAnu){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n})}
Legea lui Borel a zero-unu arată în special că ipoteza lemei Borel-Cantelli nu poate fi în niciun caz slăbită de . Într-adevăr, putem avea simultan pe de o parte și pe de altă parte (independența de și ), deci putem avea simultan:
∑nu≥0μ(LAnu)<+∞{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mu (A_ {n}) <+ \ infty}limnuμ(LAnu)=0{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {n} \ mu (A_ {n}) = 0}limnuP(LAnu)=0{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}) = 0}LAnu{\ displaystyle A_ {n}}∑nu≥0P(LAnu)=+∞{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mathbb {P} (A_ {n}) = + \ infty}
limnuP(LAnu)=0șiP(lim supnuLAnu)=1.{\ displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}) = 0 \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ mathbb {P} (\ limsup _ {n} A_ {n}) = 1.}
Note și referințe
-
De fapt, merită să vedeți articolul Funcția zeta a lui Riemann , de exemplu secțiunea Valori ale funcției zeta pentru s întreg mai mare de 1 .ζ(2)=π26,{\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}},}
-
Émile Borel , „ Probabilitățile numărabile și aplicațiile lor aritmetice ”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 27, n o 1,Decembrie 1909, p. 247-271 ( ISSN 0009-725X și 1973-4409 , DOI 10.1007 / BF03019651 ). Legea lui Borel a zero-unu a fost publicată în vederea, se pare, a aplicațiilor la proprietățile fracțiilor continue . Puțin mai târziu, Cantelli ar fi observat și folosit faptul că, pentru unul dintre cele două simțuri, presupunerea independenței este de prisos, ceea ce a dus la lema Borel-Cantelli (de verificat).
Vezi și tu