Instabilitate Rayleigh-Taylor

Rayleigh-Taylor , numit fizician britanic Lord Rayleigh și GI Taylor , este o instabilitate a interfeței dintre două fluide de densități diferite, care rezultă din forța de împingere a fluidului mai greu pe brichetă de fluid (accelerația în cazul unui sistem dinamic sau gravitația pentru un sistem inițial static este îndreptată spre faza luminoasă). Acest fenomen este produs de exemplu de unda de șoc la originea norilor interstelari . În acest caz special în care șocul se află la originea accelerării sistemului, se va vorbi despre instabilitatea Richtmyer-Meshkov . O situație similară apare atunci când gravitația afectează două fluide de densități diferite (fluidul mai dens care se află deasupra fluidului mai puțin dens), cum ar fi uleiul mineral de la suprafața apei.

Luați în considerare două straturi de fluide nemiscibile suprapuse în două planuri paralele, cel mai greu depășind cel mai ușor și ambele supuse gravitației terestre. Echilibrul este instabil la cea mai mică tulburare : orice perturbare va amplifica și elibera energia potențială , fluidul mai grele câștigă progresiv jumătatea inferioară sub efectul câmpului gravitațional, iar pasele fluide ușoare la locului de mai sus. Această configurație a fost studiată de Lord Rayleigh. Descoperirea importantă a GI Taylor a fost să arate că această situație este echivalentă cu cea care apare atunci când fluidele (din toată gravitația) sunt accelerate , fluidul ușor fiind propulsat în interiorul fluidului mai greu. Acest lucru se întâmplă în special atunci când aruncăm un pahar pe pământ cu o accelerație mai mare decât gravitația pământului g .

Pe măsură ce instabilitatea își dezvoltă efectele, neregularitățile („gropițele”) se propagă în jos în polipii Rayleigh - Taylor care în cele din urmă chiar se amestecă. Acesta este motivul pentru care instabilitatea Rayleigh-Taylor este uneori denumită instabilitate la atingere . Fluidul mai ușor se extinde în sus ca o ciupercă nucleară .

Acest fenomen este observat în mai multe situații obișnuite, nu numai în cupolele de sare sau straturile de inversiune , ci și în astrofizică și electrocinetică . Polipii Rayleigh-Taylor sunt vizibili în special în Nebuloasa Crabului , unde plerionul generat de pulsarul Crab revarsă proiecțiile din explozia supernova de acum 1.000 de ani.

Instabilitatea Rayleigh - Taylor nu trebuie confundată cu instabilitatea Plateau-Rayleigh (denumită uneori „instabilitatea furtunului de grădină ”): aceasta din urmă, care apare în jeturile de lichid, se datorează tensiunii. Superficial, care tinde să disperseze un jet cilindric în o proiecție a picăturilor de același volum, dar de suprafață mai puțin specifică.

Analiza stabilității liniare

Instabilitatea non-vâscoasă bidimensională Rayleigh - Taylor oferă un pat de test excelent pentru studiul matematic al stabilității datorită naturii extrem de simple a configurației inițiale, descrisă de un câmp de viteză medie, cum ar fi unde câmpul gravitațional este o interfață între fluide de densitate în zona superioară și în zona inferioară. Se arată că în această secțiune, când fluidul cel mai greu este deasupra, cea mai mică perturbare a interfeței se amplifică exponențial , cu rata ${\ displaystyle U (x, z) = W (x, z) = 0, \,}$ ${\ displaystyle {\ textbf {g}} = - g {\ hat {\ textbf {z}}}. \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle \ rho _ {G} \,}$ ${\ displaystyle \ rho _ {L} \,}$

{\ displaystyle \ exp (\ gamma \, t) \ ;, \ qquad {\ text {cu}} \ quad \ gamma = {\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {\ text {heavy}} - \ rho _ {\ text {light}}} {\ rho _ {\ text {heavy} } + \ rho _ {\ text {light}}}}, \,}

unde este rata de creștere, este numărul undei spațiale și este numărul Atwood . $\ gamma \,$ $\ alfa \,$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

Analiza stabilității liniare

Perturbarea adusă sistemului este descrisă de un câmp de viteză de amplitudine infinit de mică.Cum presupunem că fluidul incompresibil, acest câmp de viteză este irotațional și poate fi descris prin linii curente . ${\ displaystyle (u '(x, z, t), w' (x, z, t)). \,}$

{\ displaystyle {\ textbf {u}} '= (u' (x, z, t), w '(x, z, t)) = (\ psi _ {z}, - \ psi _ {x}) , \,}

unde indicii indică derivațiile parțiale . În plus, într-un fluid incompresibil inițial în mișcare staționară, nu există vortex, iar câmpul vitezei fluidului rămâne irotațional , adică . În ceea ce privește linia curentă, Apoi, deoarece sistemul este invariant prin orice traducere în direcția x , putem căuta o soluție sub forma ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {u}} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0. \,}$

{\ displaystyle \ psi \ left (x, z, t \ right) = e ^ {i \ alpha \ left (x-ct \ right)} \ Psi \ left (z \ right), \,}

unde este numărul undei spațiale. Deci problema se rezumă la rezolvarea ecuației $\ alfa \,$

{\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {j} = 0, \, \, \, \ D = {\ frac {d} {dz}}, \, \, \, \ j = L, G. \,}

Câmpul pe care se rezolvă problema este următorul: fluidul indexat „L” este limitat la regiune , în timp ce fluidul indexat „G” se află în semiplanul superior . Pentru determinarea soluției complete, este necesar să se stabilească condițiile de limitare și interfață. Aceasta determină celeritatea c , care la rândul său guvernează proprietățile de stabilitate ale sistemului. ${\ displaystyle - \ infty <z \ leq 0 \,}$ ${\ displaystyle 0 \ leq z <\ infty \,}$

Prima dintre aceste condiții este furnizată de datele de la graniță. Vitezele de perturbare ar trebui să satisfacă o condiție de impermeabilitate (debit zero), împiedicând fluidul să se extindă în afara domeniului de studiu. Astfel, de -a lungul și pentru . În ceea ce privește raționalizarea , acest lucru este scris ${\ displaystyle w '_ {i} \,}$ ${\ displaystyle z = \ pm \ infty. \,}$ ${\ displaystyle w_ {L} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle z = - \ infty \,}$ ${\ displaystyle w_ {G} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle z = \ infty \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (- \ infty \ right) = 0, \ qquad \ Psi _ {G} \ left (\ infty \ right) = 0. \,}

Celelalte trei condiții sunt asigurate de comportamentul interfeței . ${\ displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$

Continuitatea componentei de viteză verticală; în componentele vitezei verticale trebuie conectate: . În ceea ce privește raționalizarea , acest lucru este scris ${\ displaystyle z = \ eta}$ ${\ displaystyle w '_ {L} = w' _ {G} \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (\ eta \ right) = \ Psi _ {G} \ left (\ eta \ right). \,}

Printr-o dezvoltare limitată într- o se obține ${\ displaystyle z = 0 \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (0 \ right) = \ Psi _ {G} \ left (0 \ right) + {\ text {o (z)}}, \,}

Este ecuația care exprimă condiția interfeței.

Starea suprafeței libere: De-a lungul suprafeței libere , se aplică următoarea stare cinematică: ${\ displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + u '{\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = w' \ left (\ eta \ right). \, }

Prin liniarizare, obținem pur și simplu

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} = w '\ left (0 \ right), \,}

unde viteza este liniarizată la suprafață . Folosind reprezentări în mod normal și raționalizări , această condiție este , a doua condiție de interfață. ${\ displaystyle w '\ left (\ eta \ right) \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

Salt de presiune la interfață: Dacă este luată în considerare o tensiune superficială , saltul de presiune peste interfață este dat de ecuația Laplace : ${\ displaystyle z = \ eta}$

{\ displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ kappa, \,}

unde σ este tensiunea superficială și κ este curbura interfeței, a cărei aproximare se obține prin liniarizare:

{\ displaystyle \ kappa = \ nabla ^ {2} \ eta = \ eta _ {xx}. \,}

Asa de,

{\ displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Cu toate acestea, această condiție implică presiunea totală (= presiunea de bază + perturbarea), adică

{\ displaystyle \ left [P_ {G} \ left (\ eta \ right) + p '_ {G} \ left (0 \ right) \ right] - \ left [P_ {L} \ left (\ eta \ right ) + p '_ {L} \ left (0 \ right) \ right] = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

(Ca de obicei, putem liniaza perturbațiile diferitelor magnitudini de-a lungul suprafeței z = 0. ) Prin exprimarea echilibrului hidrostatic , sub forma

{\ displaystyle P_ {L} = - \ rho _ {L} gz + p_ {0}, \ qquad P_ {G} = - \ rho _ {G} gz + p_ {0}, \,}

noi obținem

{\ displaystyle p '_ {G} -p' _ {L} = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {xx}, \ qquad {\ text {on}} z = 0. \,}

Modificarea câmpului de presiune este evaluată de funcțiile curente, grație ecuației impulsului orizontal preluat din ecuațiile Euler liniarizate pentru perturbări, cu care se dă ${\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i} '} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {\ rho _ {i}}} {\ frac {p_ {i}'} {\ parțial x}} \,}$ ${\ displaystyle i = L, G, \,}$

{\ displaystyle p_ {i} '= \ rho _ {i} cD \ Psi _ {i}, \ qquad i = L, G. \,}

Referind această ultimă ecuație cu condiția de salt,

{\ displaystyle c \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Prin exploatarea celei de-a doua condiții a interfeței și prin utilizarea reprezentării modului normal , această relație devine ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

{\ displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi, \,}

unde este, de asemenea, inutil să se indexeze (doar derivatele sale) de când $\ Psi \,$ ${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ displaystyle z = 0. \,}$

Soluţie

Acum că modelul fluxului stratificat a fost descris matematic, soluția este la îndemână. Ecuația liniilor curente cu condițiile limită este rezolvată conform ${\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {i} = 0, \,}$ ${\ displaystyle \ Psi \ left (\ pm \ infty \ right) \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} = A_ {L} e ^ {\ alpha z}, \ qquad \ Psi _ {G} = A_ {G} e ^ {- \ alpha z}. \,}

Prima condiție de interfață care pune în scenă în care impune de-a treia condiție interfață care pune în scenă ${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle A_ {L} = A_ {G} = A. \,}$

{\ displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

Plasând soluția în această ecuație, formăm relația

{\ displaystyle Ac ^ {2} \ alpha \ left (- \ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) = Ag \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right ) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

A este simplificat pe ambele părți, și rămâne

{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}} + {\ frac {\ sigma \ alpha} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}}. \,

Pentru a interpreta pe deplin acest rezultat, este interesant să luăm în considerare cazul în care tensiunea superficială este zero. În acest caz,

{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}}, \ qquad \ sigma = 0, \,}

și este astfel clar că

în cazul în care , și c este real. Așa se întâmplă când cel mai ușor fluid este deasupra; ${\ displaystyle \ rho _ {G} <\ rho _ {L} \,}$ ${\ displaystyle c ^ {2}> 0 \,}$
în cazul în care , și c este perfect pură: aceasta este ceea ce se întâmplă atunci când fluidul este mai greu de mai sus. ${\ displaystyle \ rho _ {G}> \ rho _ {L} \,}$ ${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

Deci, atunci când cel mai greu fluid este deasupra, și ${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

{\ displaystyle c = \ pm i {\ sqrt {\ frac {g {\ mathcal {A}}} {\ alpha}}}, \ qquad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {G } - \ rho _ {L}} {\ rho _ {G} + \ rho _ {L}}}, \,}

unde este numărul Atwood . Luând în considerare doar soluția pozitivă, vedem că soluția este de formă ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

{\ displaystyle \ Psi \ left (x, z, t \ right) = Ae ^ {- \ alpha | z |} \ exp \ left [i \ alpha \ left (x-ct \ right) \ right] = A \ exp \ left (\ alpha {\ sqrt {\ frac {g {\ tilde {\ mathcal {A}}}} {\ alpha}}} t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x- \ alpha | z | \ dreapta) \,}

și că este asociată cu poziția η a interfeței prin: Să setăm acum ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi. \,}$ ${\ displaystyle B = A / c. \,}$

Timpul de creștere caracteristic al suprafeței libere este dat inițial de: ${\ displaystyle z = \ eta (x, t), \,}$ ${\ displaystyle \ eta (x, 0) = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left (i \ alpha x \ right) \ right \}, \,}$

{\ displaystyle \ eta = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left ({\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \, t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x \ right) \ right \} \,}

care crește exponențial în timp. Aici B denotă magnitudinea perturbării inițiale și este partea reală a expresiei complexe dintre paranteze. ${\ displaystyle \ Re \ left \ {\ cdot \ right \} \,}$

În general, condiția ca instabilitatea să fie liniară este ca partea imaginară a vitezei complexe c să fie pozitivă. În cele din urmă, restabilirea tensiunii superficiale scade c 2 în modul și , prin urmare , are un efect stabilizator. Într-adevăr, există un câmp de unde scurte pentru care tensiunea superficială stabilizează sistemul și previne instabilitatea.

Comportament pe termen lung

Analiza precedentă nu mai este valabilă atunci când avem de-a face cu o perturbare de mare amplitudine: în acest caz, creșterea este neliniară, polipii și bulele se întrepătrund și se încheie în vortexuri. Așa cum se ilustrează în figura din față, este necesar să se recurgă la simulare numerică pentru a descrie matematic sistemul.

Note și referințe

DH Sharp, „ An Overview of Rayleigh-Taylor Instability ”, Physica D , vol. 12,1984, p. 3-18 ( DOI 10.1016 / 0167-2789 (84) 90510-4 )
Drazin (2002) p. 50-51 .
HB Che, B. Hilko și E. Panarella, „ The Rayleigh - Taylor instability in the sferical pinch ”, Journal of Fusion Energy , vol. 13, nr . 4,1994, p. 275–280 ( DOI 10.1007 / BF02215847 )
(ro) Wang, C.-Y. & Chevalier RA „ Instabilități și aglomerare în rămășițele de tip Ia Supernova ”, versiunea v1,2000.
(în) RJ Tayler ( eds. ), W. Hillebrandt și P. Höflich , Astrophysics Stellar , Supernova 1987a in the Large Magellanic Cloud , Bristol / Philadelphia, CRC Press ,1992, 356 p. ( ISBN 0-7503-0200-3 ) , p. 249–302 : cf. pagina 274.
J. Jeff Hester , „ Nebuloasa Crabului: o himeră astrofizică ”, Revista anuală de astronomie și astrofizică , vol. 46,2008, p. 127–155 ( DOI 10.1146 / annurev.astro.45.051806.110608 )
Drazin (2002) p. 48-52 .
Găsim un calcul similar în lucrarea lui Chandrasekhar (1981), §92, pp. 433–435.
Shengtai Li și Hui Li, „ Codul AMR paralel pentru ecuațiile compresibile MHD sau HD ” , Laboratorul Național Los Alamos (accesat la 5 septembrie 2006 )
IUSTI, " Simulare numerică a instabilităților Richtmyer-Meshkov " ,6 octombrie 2008(accesat la 20 august 2009 )

Vezi și tu

Bibliografie

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Instabilitate Rayleigh-Taylor ” (a se vedea lista autorilor ) .

Surse istorice

John William Strutt Rayleigh , „ Investigația caracterului echilibrului unui fluid greu incompresibil cu densitate variabilă ”, Proceedings of the London Mathematical Society , vol. 14,1883, p. 170–177 ( DOI 10.1112 / plms / s1-14.1.170 )(Hârtia originală este disponibilă la: https://web.archive.org/web/20061210173022/https://www.irphe.univ-mrs.fr/%7Eclanet/otherpaperfile/articles/Rayleigh/rayleigh1883.pdf .)
Geoffrey Ingram Taylor , „ Instabilitatea suprafețelor lichide atunci când este accelerată într-o direcție perpendiculară pe planurile lor ”, Proceedings of the Royal Society of London. Seria A, Științe matematice și fizice , vol. 201, nr . 10651950, p. 192–196 ( DOI 10.1098 / rspa.1950.0052 )

Bibliografie recentă

Subrahmanyan Chandrasekhar , Stabilitate hidrodinamică și hidromagnetică , publicații Dover ,nouăsprezece optzeci și unu, 652 p. ( ISBN 978-0-486-64071-6 , citit online )
PG Drazin , Introducere în stabilitatea hidrodinamică , Cambridge University Press ,2002, xvii + 238 pagini p. ( ISBN 0-521-00965-0 , citiți online ) .
PG Drazin și WH Reid , stabilitate hidrodinamică , Cambridge, Cambridge University Press ,2004( retipărire a 2 -a ), 626 p. ( ISBN 0-521-52541-1 , citit online )

Instabilitate Rayleigh-Taylor

Analiza stabilității liniare

Comportament pe termen lung

Note și referințe

Vezi și tu

Bibliografie

Articole similare

linkuri externe