Indicele Theil

Natură	Măsurarea inegalității veniturilor ( în )

Indicele Theil este o măsură indice al inegalității bazată pe entropia Shannon .

Un indice 0 indică egalitatea absolută.
Un indice de 0,5 indică inegalitatea reprezentată de o societate în care 74% dintre indivizi au 26% din resurse și 26% din indivizi au 74% din resurse.
Un indice de 1 indică inegalitatea reprezentată de o societate în care 82,4% dintre indivizi au 17,6% din resurse și 17,6% dintre indivizi au 82,4% din resurse.

Formulă

Formula pentru indicele Theil : $\ displaystyle {} T$

$NU$ : Număr de cuantile
$E_i$ : resurse pentru quantile i ,
$Avea}$ : eficient în quantile i ,
$E _ {{\ mathrm {total}}}$ : resurse pentru toate cuantilele dintr-o societate (o națiune etc.),
$Un _ {{\ mathrm {total}}}$ : forța de muncă a companiei (a națiunii etc.).

$T_ {T} = \ ln {{\ frac {{A} _ {{\ mathrm {total}}}} {{E} _ {{\ mathrm {total}}}}}} - {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{E} _ {i}} \ ln {{\ frac {{A} _ {i}} {{E} _ {i}}}}} {{ E} _ {{\ mathrm {total}}}}}$

În cazul și : ${{E} '_ {i}} = E_ {i} / E _ {{\ text {total}}}$ ${{A} '_ {i}} = A_ {i} / A _ {{\ text {total}}}$
$\ color {Gray} T_ {T} = 0 - {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{E} '_ {i}} \ ln {{\ frac {{A} '_ {i}} {{E}' _ {i}}}}} {1}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{E} '_ {i}} \ ln {{\ frac {{E} '_ {i}} {{A}' _ {i}}}}$

Este inegalitatea prin referire la resurse. Partea stângă este entropia maximă (de asemenea, cu referire la resurse) a unei societăți fără inegalități distributive. Partea din dreapta este entropia reală a societății, cauzată de inegalitatea distributivă a acelei societăți. Referindu -se la teoria informației, această diferență este o redundanței .

Inegalitate în raport cu populația:

$T_ {L} = \ ln {{\ frac {{E} _ {{\ mathrm {total}}}} {{A} _ {{\ mathrm {total}}}}}} - {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{A} _ {i}} \ ln {{\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}}}} {{ A} _ {{\ mathrm {total}}}}}$

În cazul și : ${{E} '_ {i}} = E_ {i} / E _ {{\ text {total}}}$ ${{A} '_ {i}} = A_ {i} / A _ {{\ text {total}}}$
$\ color {Gray} T_ {L} = 0 - {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{A} '_ {i}} \ ln {{\ frac {{E} '_ {i}} {{A}' _ {i}}}}} {1}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{A} '_ {i}} \ ln {{\ frac {{A} '_ {i}} {{E}' _ {i}}}}$

Operațiunea de normalizare a indicilor Theil este $\ displaystyle 1-e ^ {{- T}}$

Indicele Theil și indicele Hoover

Media acestor două formule este un indice simetric:

$T_ {s} = {{\ frac {1} {2}}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ color {Blue} \ ln {\ frac {E_ {i}} {A_ { i}}} \ left (\ color {Black} {\ frac {{E} _ {i}} {E _ {{\ text {total}}}}} - {\ frac {A_ {i}} {A_ {{\ text {total}}}}} \ color {Blue} \ right) \ color {Black}$

Media este foarte potrivită în comparație cu cel mai simplu indice de inegalitate: indicele Hoover . Diferența este indicată de culoarea albastră.

$H = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ color {Blue} \ left | \ color {Black} {\ frac {E_ {i}} {E_ {{\ text {total}}}}} - {\ frac {A_ {i}} {A _ {{\ text {total}}}}} \ color {Blue} \ right | \ color {Black}$

Descompunere

Dacă subindicii Theil sunt cunoscuți pentru subgrupuri : $k$ $T_ {T} = \ ln {{\ frac {{A} _ {{\ mathrm {total}}}} {{E} _ {{\ mathrm {total}}}}}} - {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{E} _ {i}} \ left (\ ln {{\ frac {{A} _ {i}} {{E} _ {i}}}} -T _ {{T_ {i}}} \ right)} {{E} _ {{\ mathrm {total}}}}}$

$T_ {L} = \ ln {{\ frac {{E} _ {{\ mathrm {total}}}} {{A} _ {{\ mathrm {total}}}}}} - {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{A} _ {i}} \ left (\ ln {{\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}}} -T _ {{L_ {i}}} \ right)} {{A} _ {{\ mathrm {total}}}}}$

$T_ {s} = {{\ frac {1} {2}}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ ln {\ frac {E_ {i}} {A_ {i}}} \ left ({\ frac {{E} _ {i}} {E _ {{\ text {total}}}}} - {\ frac {A_ {i}} {A _ {{\ text {total}}} }} \ right) + {\ frac {{E} _ {i}} {E _ {{\ text {total}}}}} T _ {{T_ {i}}} + {\ frac {{A} _ {i}} {A _ {{\ text {total}}}}} T _ {{L_ {i}}}$

Funcția de wellness

Este posibil să se calculeze funcția bunăstării propusă de Amartya Sen și James A. Foster (1996) prin această formulă:

${\ displaystyle {W _ {\ text {Theil-L}} = {\ overline {income}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- T_ {L}} = {\ frac {E _ {\ mathrm {total }}} {A _ {\ mathrm {total}}}} {\ text {}} \ mathrm {e} ^ {- T_ {L}} = \ mathrm {e} ^ {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} {{A} _ {i}} \ left (\ ln {\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}} - T_ {L_ {i} } \ right)} {{A} _ {\ mathrm {total}}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {{E} _ {i}} {{A } _ {i}}} \ \ mathrm {e} ^ {- T_ {L_ {i}}} \ right) ^ {\ frac {{A} _ {i}} {{A} _ {\ mathrm {total }}}}}}$

Venitul mediu al unei persoane într-o societate cu venituri inegale nu descrie venitul majorității cetățenilor. Funcția de bunăstare poate înlocui mediana . Valoarea funcției de asistență socială este întotdeauna mai mică decât venitul mediu. $E_i$

Dacă luăm un € din venitul total al acestei companii, acest € va face parte dintr-un venit mai mare decât venitul mediu: $E_i$

${\ displaystyle {W _ {\ text {Theil-T}} ^ {- 1} = {\ overline {revenue}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {T_ {T}} = {\ frac {E _ { \ mathrm {total}}} {A _ {\ mathrm {total}}}} {\ text {}} \ mathrm {e} ^ {T_ {T}} = \ mathrm {e} ^ {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} {{E} _ {i}} \ left (\ ln {\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}} + T_ {T_ {i}} \ right)} {{E} _ {\ mathrm {total}}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}} {\ text {}} \ mathrm {e} ^ {T_ {T_ {i}}} \ right) ^ {\ frac {{E} _ {i}} {{E } _ {\ mathrm {total}}}}}}$

Referințe

Exemplu (a se vedea, de asemenea, principiul Pareto ): 82,4% dintre popoare au 17,6% din resurse și 17,6% dintre popoare au 82,4% din toate resursele: http: //www.poorcity.richcity .org / calculator /? Quantiles = 82.4, 17,6% 7C17,6,82,4
E și A sunt utilizate ca atare de Lionnel Maugis: Măsuri de inegalitate în programarea matematică pentru problema de gestionare a fluxului de trafic aerian cu capacități de parcurs (pentru IFORS 96), 1996 ( CENA - Centre d'études de la Navigation Aérienne, Franța)
ISO / IEC DIS 2382-16: 1996
Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: Evoluția inegalității economice în țările UE în anii nouăzeci , 2005
Elhanan Helpman: Misterul creșterii economice , 2004, ( ISBN 0-674-01572-X ) (Aceste două formule și sunt similare cu formulele de la pagina 150.) $T_ {T}$ $T_ {L}$
James E. Foster und Amartya Sen, 1996, Despre inegalitatea economică , ediție extinsă cu anexă, pagina 129, ( ISBN 0-19-828193-5 )

Vezi și tu

Literatură

Amiel, Y.: Gândindu-se la inegalitate , Cambridge 1999.
Cowell, Frank A. (2002, 2003): Theil, Inegalitatea și structura distribuției veniturilor , London School of Economics and Political Sciences (pe clasa indicilor Kolm )
Sen, Amartya : Despre inegalitatea economică (Ediție extinsă cu o anexă substanțială „Despre inegalitatea economică” după un sfert de secol cu James Foster) , Oxford 1997, ( ISBN 0-19-828193-5 )
Tsui, Kai-Yuen (1995): Multidimensional generalizări a relative și absolute Indicele Inegalitatea: a Atkinson - Kolm - Sen abordare . Journal of Economic Theory 67, 251-265.

linkuri externe

Distribuția venitului disponibil (Distribuția pe categorii de venituri ale gospodăriei, Sursa: Insee. Anul datelor: 2004, anchetă privind venitul fiscal) și măsurile de inegalitate