Identificarea sistemului

Sistemul de identificare sau identificare parametrică este o tehnică de obținere automată a unui model matematic al unui sistem din măsurători.

Principii și obiective

De identificare cuprinde aplicarea sau semnalele perturbație observate la intrarea unui sistem (de exemplu, un sistem electronic, acestea pot fi binare aleatoare sau pseudo - aleatoare, Welsh, sinus la frecvențe multiple ...) și analiza de ieșire pentru a obține un model pur matematic. Diferenții parametri ai modelului nu corespund niciunei realități fizice în acest caz. Identificarea se poate face fie în timp (spațiu temporal), fie în frecvență ( spațiu Laplace ). Prin urmare, cu această tehnică este posibilă evitarea modelelor pur teoretice bazate pe ecuații fizice (în general ecuații diferențiale ), care necesită mult timp pentru obținere și adesea prea complexe pentru timpul de dezvoltare dat.

Diferitele tipuri de modele

Principiul unei identificări parametrice este extragerea unui model matematic din observații. Modelul trebuie să permită calcularea rezultatului procesului y în orice moment t dacă sunt cunoscute condițiile inițiale ale sistemului. Pentru aceasta, putem folosi valorile intrărilor la timpul prezent și anterior ( u (t), u (t-1), ... ) și valorile anterioare ale ieșirii ( y (t- 1), y (t-2), ... ) în cazul unui model regresiv.

Este încă important să aveți cunoștințe de bază despre sistem pentru a alege un tip de model adecvat

• Model cu o intrare / o ieșire ( SISO ) sau mai multe intrări și ieșiri multiple ( MIMO )
• Modelează liniar sau neliniar (în acest caz, ce nu este liniar cu ce?)
• Model continuu sau discret
• Model regresiv sau independent: pentru un model regresiv, ieșirea la un moment t , y (t), depinde de instanțele anterioare (y (ti)).
• Model stocastic sau determinist

În general, modelul este reprezentat ca o funcție de transfer folosind Z transforma . Identificarea necesită o structură model cunoscută a priori pentru a identifica diferiți parametri din această structură. Iată cele mai utilizate 3 structuri de modele:

Modelul ARX

Modelul ARX (model regresiv automat cu intrări eXternal ) este un model regresiv automat care include intrări u (t) și zgomot alb mediu zero. În plus, modelul include o întârziere pură de k curse de ceas. În cazul în care sistemul este eșantionat la o perioadă de eșantionare T , atunci întârzierea va fi k * T . ζ(t){\ displaystyle \ zeta (t)}

În formă temporală  :

Da(t)=B⋅[tu(t-k),tu(t-1-k),...]T-LA⋅[y(t-1),y(t-2),...]T+LA⋅[ζ(t),ζ(t-1),...]{\ displaystyle Y (t) = B \ cdot [u (tk), u (t-1-k), ...] ^ {T} -A \ cdot [y (t-1), y (t- 2), ...] ^ {T} + A \ cdot [\ zeta (t), \ zeta (t-1), ...]}

Într-un spațiu discret folosind transformarea Z  :

y(z)=z-k⋅B(z-1)LA(z-1)⋅tu(z)+1LA(z-1)⋅ζ(z){\ displaystyle y (z) = z ^ {- k} \ cdot {\ frac {B (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot u (z) + { \ frac {1} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot \ zeta (z)}

Modelul ARMAX

Modelul ARMAX ( Media regresivă automată cu intrări eXternal ) preia atributele modelului ARX, dar include o funcție de transfer cu o medie reglabilă pe zgomotul alb . În general, zgomotul alb este utilizat pentru a modela perturbații care nu pot fi măsurate în model. Cu toate acestea, aceste perturbații nemăsurabile (fluctuații termice, vibrații ale solului etc.) sunt rareori de medie zero și pot răspunde și unui model.

y(z)=z-k⋅B(z-1)LA(z-1)⋅tu(z)+T(z-1)LA(z-1)⋅ζ(z){\ displaystyle y (z) = z ^ {- k} \ cdot {\ frac {B (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot u (z) + { \ frac {T (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot \ zeta (z)}

Modelul ARIMAX (sau CARIMA)

În modelul ARIMAX (Medie mobilă integrată regresivă automată cu intrări eXternal ), modelul de zgomot este direct integrat:

y(z)=z-k⋅B(z-1)LA(z-1)⋅tu(z)+T(z-1)(1-z-1)⋅LA(z-1)⋅ζ(z){\ displaystyle y (z) = z ^ {- k} \ cdot {\ frac {B (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot u (z) + { \ frac {T (z ^ {- 1})} {(1-z ^ {- 1}) \ cdot A (z ^ {- 1})}} cdot \ zeta (z)}

Procedura de identificare

Pentru a obține un model consistent, este important să energizați procesul cu toate frecvențele din domeniul său de funcționare. Prin urmare, semnalul de intrare aplicat trebuie să fie bogat în frecvențe (să aibă un spectru larg). În general, se aplică un semnal periodic pseudo-aleatoriu (PRBS).

Atunci când sistemul are mai multe intrări / ieșiri multiple, este important să se aplice semnale decorelate , astfel încât să nu se introducă o polarizare de identificare. O idee comună de intrări incitante una după alta este o metodă proastă, deoarece introduce o părtinire de identificare și nu reflectă funcționarea normală a sistemului. Este important să urmați o procedură riguroasă pentru a identifica un proces:

• Determinarea unui protocol de testare: proprietățile statistice ale semnalelor de intrare pentru a scana toate frecvențele de interes, raportul semnal / zgomot trebuie să fie suficient de mare și numărul de puncte de măsurare trebuie să fie semnificativ pentru test (> 1000)
• Determinarea structurii modelului: tipul modelului, ordinea și întârzierea
• Identificare: alegerea unui algoritm pentru a găsi modelul minimizând în același timp erorile dintre măsurători și model, în general un algoritm bazat pe metoda celor mai mici pătrate (LS, RLS, RELS).
• Validarea modelului: Efectuarea mai multor teste de verificare. Este necesar pentru acest pas să se utilizeze măsuri diferite de cele utilizate în timpul identificării.

Alte abordări sunt, de asemenea, posibile, în special prin examinarea matricilor subspatiale ale unui sistem (dar mai puțin eficiente decât cele de mai sus pentru sistemele neliniare).

Acest lucru poate da astfel cu ușurință un model mai puțin „teoretic” și poate contribui la îmbunătățirea eficienței, controlului sau predicției (pentru valorile acțiunii într-un sistem economic, de exemplu).

Casetele de instrumente Matlab și Scilab există pentru algoritmi de rezolvare (de exemplu, tip ARMAX). Cele pentru Octave urmează să fie create.

Bibliografie

• Ioan Doré Landau , Identificarea și controlul sistemelor. 2 II  revizuit și ediția lărgită , Hermès, 1993 ( ISBN  2-86601-365-4 )
• Rapoartele 06008 și 05603 din Laboratorul de Analiză și Arhitectură a Sistemelor disponibile pe http://www.laas.fr
• (ro) Lennart Ljung, Identificarea sistemului, teoria pentru utilizator ( ISBN  0-13-881640-9 )
• (ro) Rik Pintelon și Johan Schoukens, System Identification, A Frequency Domain Approach ( ISBN  0-7803-6000-1 )