În geometria sintetică , geometria argumentésienne este o singură „construcție” (datorită lui Desargues ), bazată pe introducerea elementelor nepotrivite, pentru a aduce geometria afină (și paralelismul ) în matrița geometriei proiective .
Prima axiomă a stărilor de geometrie proiectivă (printre altele):
Două linii coplanare au un punct comun.
Pe de altă parte, axioma paralelismului dintre geometria afină (o formulare simplificată a celui de-al cincilea postulat al geometriei lui Euclid) este:
Printr-un punct din afara unei linii, trece întotdeauna o paralelă cu această linie și doar una.
Prin urmare, se pare că geometria proiectivă și geometria afină sunt ireconciliabile, deoarece prin definiție.
Două linii sunt paralele atunci când sunt coplanare și fără intersecție.
În realitate, nu este.
Geometria argumentală este un mijloc de a concilia geometria afină și geometria proiecțională :
Desargues a redefinit noțiunea de paralelism prin introducerea elementelor necorespunzătoare : punct necorespunzător (comparabil cu punctul de fugă ), linie sau plan necorespunzător. Este de la sine înțeles că elementele unei forme improprii sunt improprii. Prin urmare, geometria argumentală se caracterizează prin distincția elementelor necorespunzătoare. Definiția paralelismului devine:
Două linii, două plane sau chiar o linie și un plan sunt paralele atunci când intersecția lor este necorespunzătoare.
În geometria proiectivă (de asemenea în geometria eliptică ), nu există puncte nepotrivite, deci nu există paralelism. Pe de altă parte, noi geometrii sunt construite acolo și mai întâi geometria rafinată în doi pași foarte simpli:
Caracterizarea elementelor necorespunzătoare în geometria afină este:
Elementele necorespunzătoare aparțin unui singur plan necorespunzător.
Fiecare linie (adecvată) are un punct necorespunzător unic.
Eliminarea punctelor constă în a spune: „ transformăm o linie proiectivă într-o linie afină prin eliminarea punctului său necorespunzător. ". Apoi găsim imediat axioma paralelismului geometriei afine . Mai mult, punctul necorespunzător șters poate fi asimilat direcției liniilor sale drepte.
Se poate recurge și la elementele necorespunzătoare pentru a caracteriza paralelismul geometriei hiperbolice ; dar acesta din urmă nu este pe deplin compatibil cu geometria proiectivă.
Noțiunea de element necorespunzător nu este necesară pentru geometria proiectivă; dar servește ca o „punte” între această geometrie și geometria afină. Eliminarea elementelor necorespunzătoare este comparabilă cu o deschidere (în sens topologic) a spațiului.